排列组合问题的典型类型及其破解策略

谈到排列组合问题，很多同学望而生畏，如同谈虎色变.究其原因：其解法独特，需要有较强的逻辑思维能力和抽象问题的能力.解决排列组合问题，除了审题清楚，准确分类、合理分步外，还要抓住问题的本质特征，讲究策略和方法，使看似陌生而复杂的问题化归为熟知的类型.下面介绍排列组合中几种典型的类型及其破解策略.

类型一：特殊元素（位置）问题

对于含有限定条件的排列组合题，破解策略：优先安排特殊（元素）位置，再考虑其他元素和位置，在具体解题时，有时“元素优先”，有时“位置优先”.

例1：安排7名工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不安排在5月1日和5月2日，则不同的安排方法有？摇？摇 ？摇？摇种.（用数字作答）

类型二：排组混合问题

对于排列组合的混合应用题，破解策略：采取先选取元素，后进行排列，即“先选后排、分步实施法”.

例：从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（？摇？摇）

A.24种？摇？摇B.18种？摇？摇C.12种？摇？摇D.6种

类型五：复杂问题

复杂问题是指在直接法考虑比较难，分类不清或多种的问题，破解策略：先总体考虑再剔除个别，即“正难则反间接法”.“间接法”比较适合处理“至多”、“至少”型问题.

例5：四面体的顶点与各棱的中点共有10个点，在其中取出4个不同的点，则不同的取法有（？摇？摇）

A.150种？摇？摇B.147种？摇？摇C.144种？摇？摇D.141种

解该问题若直接考虑比较复杂，故先从整体考虑再剔除不符合题意的.由10个点取4个点的方法总数为C104种，不符合题意的有：①每个面上的6个点四点共面的有4C64种;②各条棱的中点共6个，其中四点共面的平面有3个;③每条棱的中点与对棱的中点共面，共有面6个.所以符合条件的不共面4点的取法有

对于元素多，选取情况多的问题，破解策略：按要求进行先分类再分步，最后总计，即“分类、分步法”;有些较复杂的问题也可以通过列图表使其直观化加以分类即表格法.

例6：有9人组成的篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的组队方法？

解：由题设知，其中有1人既可打锋又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2人.

除了上述方法外，有时还可以通过设未知数，借助方程解答，简单一些的问题可采用树形图等方法.解此类问题常用的数学思想有：分类讨论，转化和对称等思想.在解题过程中一定要审明题意、排组分清;合理分类、准确分步;周密思考、防重防漏;一题多解、检验真伪、不断通过解题积累经验，总结解题规律，掌握求解技巧，最终达到灵活运用.