处理多元问题的思维策略

中图分类号 G420

文献标识码 A

文章编号 （2014）13-0083-01

在解许多代数问题时经常会遇到多元的情形，即问题中涉及一两个以上的多个量元，对此有些同学深感麻烦或者没有对策，那么现在我们给出处理这类问题的常见思维策略，以期对同学们有所帮助.

一、主元策略

例1.已知 ，试确定实数 的取值范围，使不等式 对任意实数 都成立.

解说：此题一共涉及四个字母量元，怎么求解呢？可以这样来分析：字母 是常数，参数为 ，而 可看成变量，因其地位均等，故将谁作主元都行，比如视不等式为关于 的不等式，则有

，即 ，

， ，二次函数 = 的图象开口向下，则要使 对 恒成立，只须

，

则由 得： ，故使不等式 对任意实数 都成立的 的取值范围是 .

二、变元策略

例2. 已知实数 满足 时，函数 值横正，求 的取值范围.

解说：此题字母量元不多，只有两个，主元是 ，参数是 ，照惯例不等式

变为 ，

再设 ，可以构造直曲关系求解.

现在变更思维角度，视 为主元，则问题变为求 的取值范围，使原不等式在 （-2，2）上恒成立.这就异常简捷了，因为曲线已转化为直线.

原不等式 即为 .

其图象为一条直线（图略），则欲使当 时 恒成立，只须 ，由此解得： ，此即所求范围.

三、换元策略

例3. 试求最大实数 ，使不等式 对 恒成立.

解说：此题涉及四个字母量，主元是 ，但若注意到 ， ，所以可以换元转化，使问题变得简单些.

设 ， ，则 ，且 .

原不等式即为 ，亦即 .

则要使不等式恒成立，只须 小于等于右侧的最小值即可.

（当 时取等号）， .

故所求实数 的最大值为4.

四、减元策略

例4. 已知对任意实数 ，二次函数 的值非负，若 ，试求 的最小值.

解说：此题字母量元较多，开始可能没有思路，我们可以按条件试着分析如下.

由条件可知， ，且 ， ，于是有

.

至此，量元个数缩减为两个，即 和 ，且“ ”实际上只是一个.为简化起见，设 ，则 ，故有

，

当 即 时， 取最小值3.