物理极值求解中常用的数学方法

数学是科学的语言，是物理学的重要工具.运用数学方法解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好可以帮助我们更加简捷的解决物理问题.极值问题是高中物理学习的重点，也是学生学习过程中的一个难点.运用数学知识求解物理极值，不仅可以简化物理过程的分析，而且容易被学生接受.下面把求解物理极值问题的常用数学的方法总结一下.

一、利用三角函数求极值

三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在高中物理问题中，由于涉及到矢量的计算和讨论，三角函数在物理解题中有较广泛的应用.利用三角函数求极值在物理问题中是非常常见的.

本题先用“积化和差”，再用正弦函数的单调变化的临界状态求取F的最小值，使判断变得直观简单.运用三角函数求极值在物理问题的讨论中非常普遍，在各块内容中都有不同程度的应用，尤其在力学、机械能、交流电、电磁学、几何光学中的运用尤为突出，值得重视和推广.

二、利用二次函数求极值

在物理运动学中追及问题是常见题型，常常要求最远距离或最近距离.可根据题意先列出函数表达式，根据函数表达式的具体表现求极大值或极小值，即最远距离或最近距离.

本题运用二次函数求得两车间的最大距离，通俗易懂，省去了物理过程的分析，非常容易被学生接受和运用.此种方法尤其在运动学中其应用频率相当高，值得我们重视.运用二次函数求极值，首先要根据物理过程中物理量的关系运用公式准确列出关于所求问题的一元二次方程，然后由方程中物理量的关系求得极值.

三、利用图像求极值

高中物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化.利用图像求极值不失为一个好方法，在选择题和填空题的极值计算中其表现尤其突出.

本题运用了v-t图象找到了F的最小值，在明确物理过程的基础上，画出物体各自的运动图象，这样两物体的运动特点就很明显了.利用图线与坐标轴所夹面积的关系明确物体间的位移关系，可省略一些物理量的计算，从而快速、简捷地解答问题.利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果.甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，运用图象则会使你豁然开朗，尤其在求解变化分析中的极值类问题.

四、利用均值不等式求极值

在物理问题中运用最频繁的均值不等式定理的内容：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.而在物理中主要运用的是从以上均值不等式定理得到的以下结论.对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值.

例4设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上.假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比

A.地球与月球间的万有引力将变大

B.地球与月球间的万有引力将变小

C.月球绕地球做圆周运动的周期将变长

D.月球绕地球做圆周运动的周期将变短

分析地球质量为M，月球质量为m，M、m的和不变为基础，长时间地搬运，导致M、m的差值变大，即M、m的乘积变小，从而确定二者间万有引力减小.B选项的确定就充分的利用了均值不等式的结论.

总之，解决一个问题的方法可以是多方面的，但适当的选取合理有效的方法可以让我们少走弯路，对于一些巧妙的物理问题则必须采取一些有效而适当的方法进行求解，希望大家在学习中多思考、多总结.