一组易混、易错的电路计数问题

在课堂上组织学生学习了人教版高二数学“分类计数原理与分步计数原理”后，布置学生课后完成教科书和教辅材料上的有关练习.第二天上数学课的时候，实习教师告诉我，学生对昨天作业中的三道题有很大的争议.现将这三道题及其解法列举如下：

题1（教科书中习题） 如图，一条电路在从A处到B处接通时，有多少条不同的线路？

解法一（教参中的解法）不同的线路有3+1+2×2=8种.

解法二（部分学生的解法）每个电键都有开、闭两种状态，

这个电路从A处到B处不论接通与否，共有28种状态，

其中不接通的有1×1×1×1×（1×22+22×1-1）=7种，

这个电路从A处到B处接通有28-7=249条不同的线路.

题2（教辅材料中的练习）在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，合上电键，使电灯发光的方法有多少种？

解法一（教辅材料编者给出的解法）因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，故可用分类计数原理，共有2+3=5种使电灯发光的方法.

解法二（部分学生的解法）每个电键都有开、闭两种状态，

不论电灯发光与否，共有25种状态，

而其中电灯不发光的只有1种，

使电灯发光的方法共有25-1=31种.

题3（教辅材料中的练习）由电键组A与B所组成的串联电路中，如图，要接通电源，合上电键，使电灯发光的方法有多少种？

解法一（教辅材料编者给出的解法）只有在合上A组中某个电键之后，再合上B组中3个电键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光.根据分步计数原理有2×3=6种不同的接通方法使电灯发光.

解法二（部分学生的解法）每个电键都有开、闭两种状态，

不论电灯发光与否，共有25种状态，

而其中电灯不发光的有1×23+1×22-1=11种，

使电灯发光的方法共有25-11=21种.

解法三：（部分学生的解法）只有A组和B组都接通时，才能使电灯发光，

根据分步计数原理有（22-1）×（23-1）=21种不同的接通方法使电灯发光.

在讲评时，把以上解法罗列在黑板上，引导学生进行辨析，首要问题是先搞清楚这三个问题有什么区别，特别是问题1与问题2，3的区别.

按照教参的解法和教辅材料编者给出的解法，是将这三个问题看成同一模型的问题了.通过认真的审题，同学们认识到问题1与问题2，3实际上有着本质的差别：

问题1中“一条电路在从A处到B处接通”的关键是“一条”，这是解题的前提，因此教参中的解法是正确的.若将问题1中的“一条”去掉，则解法二是正确的.

问题2，3只要求电灯发光就可以了，至于有几条线路接通并没作具体限制，因此，问题2，3的解法一是错误的，解法二、三是正确的.

分清了以上三个问题后，对以下两个问题也就有了正确的解法.

题4教室里安装有6盏日光灯，6个开关，1个开关只控制一盏灯，则开灯照明的方法有多少种？

解每盏灯的开关有开与关2种可能性，6盏灯共有26=64种可能性，6盏灯的开关全关只有一种可能性，故有64-1=63种开灯照明的方法.

题5一电路由电池A与两个并联的电池B和C串联而成.设A，B，C损坏的概率分别为0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率.

解设电池A，B，C正常的事件分别记为A，B，C，电路正常的事件记为D，

则P（D）=P（ABC+ABC+ABC）.

P（A）=0.3，P（B）=0.2，P（C）=0.2，

P（A）=0.7，P（B）=P（C）=0.8.

又事件A，B，C相互独立，事件ABC，ABC，ABC互斥，

P（D）=0.7×0.8×0.8+0.7×0.8×0.2+0.7×0.2×0.8=0.672.

P（D-）=1-P（B）=0.328.

即电路发生间断的概率为0.328.

通过对以上各题的分析、求解，可以使同学们在今后解答类似问题时，能做到认真审题，认清一些形似问题的些许差别.

实际上，更重要的目的在于，鼓励学生不盲目地迷信参考答案，大胆质疑，做到善疑和敢疑.所谓善疑就是能理性地怀疑，而不是毫无根据地怀疑.经过认真思考的怀疑，是科技发展的先导；而盲目地怀疑、否定一切是科学发展的大忌.所谓敢疑就是不迷信名人.已有的结论不一定都是正确的，任何人都会犯错误.一味盲目地迷信名人，把他们的每一句话都当作经典，就会扼杀自己的想象力.我们应该尊重名人，虚心学习他们的成功经验，又要有超越他们的勇气，在他们已有经验的基础上，再进行改造、创新.在平时教学中，我们要鼓励学生敢于挑战，敢于对已有的观点提出不同意见.