构造法解题与数学思想方法的渗透

（宁夏盐池高级中学，宁夏 盐池751500）

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1003-2738（2011）12-0066-01

摘要：培养创新精神、创新能力和解决实际问题的能力已成为数学教育界的共识。运用数学思想方法，巧妙进行构造法接替是培养学生创新能力的一个重要途径。本文通过构造相关模型，巧妙地解决了中学数学中的有关问题，看得出这些方法不仅构思新颖、方法独特，还颇具创造力。

关键词：构造法解题；数学思想方法；模型

著名数学家波利亚曾说过：“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动，学会（教会）怎样聪明地处理辅助问题是一项重大的任务。”这里所说的辅助问题，实质是利用构造思想，构造新的数学模型而成的“辅助问题”，通过辅助问题而使问题获解，这种以构造为特征的解题方法称为构造法。

利用构造法解题，不仅获得思路和方法上有出奇制胜之妙，而且对于开拓思路，提高和培养分析问题，解决问题的能力也有事半功倍之效。它的巧妙在于不是直接去解所给问题A，而是构造一个与问题A有关的辅助问题B，引出问题B是帮组解决问题A，本文将以高中代数课本有关知识为例，谈谈如何运用数学思想方法，合理地构造模型，并借助于对模型的研究，使问题获得解决。

1.构造几何模型。

若问题条件的数量关系有明显的几何意义或以某种方式将问题转化为几何图形实现，借助几何图形的性质的研究，使问题得到解决。

例1.已知a>b>0，求证：

分析：直接解不等式比较麻烦，视 为一直角三角形三边构造如图所示的直角三角形ABC，由“三角形任意两边之差小于第三边”得出 成立。

2.构造函数模型。

函数思想是数学的一个基本思想。对于某些问题，若能充分利用问题中潜能变化，构造函数模型，对增强学生的函数观念，形成良好的数学素质有着深刻的影响。

例2.已知a,b,c,d均为实数，求证：

分析：由结论联想到一元二次函数判别式，于是构造辅助函数

，其中a,b至少有一个不为0，问题转化为证明函数y的判别式 ，事实上： 而 ，故二次函数y的判别式 。

3.构造方程模型

方程的思想也是数学的基本思想之一，它是解决大量数学问题的导航器，利用方程的思想解决数学问题，就是要观察数学问题的特征，合理的构造方程，然后利用根的判别式及根的有关特性来处理问题。

例3.设 ，求证

证明：设 ，则

因为 所以

即 所以

例4.化简

解：令则

故

构造方程 易知方程有唯一实根

故

4.构造对偶模型

构造数学问题中某个式子的对偶式，考虑其间的关系与运算，常能使问题转化而得到简洁巧妙地解答。

例5.求 的值

解：设

则

故

例6.已知x= ,求 的值。

分析与解：对于 的值，直接用x= 代入较为困难，但因x= 与之对偶的有 ，而 + =1故可构造对偶式。令 得

从而

5.构造“定比分点”模型

构造定比分点来解题，不但能解决有些常规方法不易解决的数学问题，而且还可加深数学各分支的联系，能促使我们灵活运用各有关知识解题，领悟其中的乐趣。

例7.已知 ，求证

证明：设数轴上两点-1，1，p= 是它们的定比分点，则

即p为-1，1的内分点，故不等式成立。

6.构造复数模型

利用构造复数模型来解题，可以省去很多麻烦，达到事半功倍的效果。

例8.在锐角 中，求证

分析与解：构造复数

则有

而在锐角三角形 中，

从以上诸例，我们可以看到，构造法的实质是运用数学思想方法通过借助与之相关的知识桥梁构造所求问题的具体形式，它不仅体现了数形结合思想、类比思想和划归思想，而且还渗透着探索，猜想，试验，综合，归纳等数学思想方法，因此用构造法解题不及可以打破常规，创设情境，而且可以以简驭繁，从而可以达到活跃学生思维，加大思维跨度，激发学生的求知欲的良好效果，是对学生进行数学思想和方法教学的好途径。

另外，利用构造法解题，需要有坚实的基础，灵活的思维，熟练的技能，还要善于用发展、变化、联系的观点看待数学问题，并反复揣摩，细心观察，就一定能达到得心应手的境界。