对一道高考理科综合题的拓展与推广

题目 （2013年江西高考理科20）如图，椭圆C∶x21a2+y21b2=1 （a>b>0）经过点P（1，312），离心率e=112，直线l的方程为x=4。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由。

分析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的相交及圆锥曲线中的定值问题等，考查了学生分析问题的能力及运算能力。

解（1）椭圆C∶x214+y213=1。（解题过程略）（2）由题意可知直线AB的斜率存在，不妨设直线AB：y=k（x-1）。 直线AB的方程与椭圆方程联立方程组y=k（x-1），

x214+y213=1，消去y，整理得（4k2+3）x2-8k2x+4（k2-3）=0。设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=8k214k2+3，x1x2=4（k2-3）14k2+3。

又因为P（1，312），所以k1=y1-3121x1-1=k（x1-1）-3121x1-1=k-3121x1-1。同理k2=k-3121x2-1所以k1+k2=2k-312（11x1-1+11x2-1）=2k-312・x1+x2-21x1x2-（x1+x2）+1=2k-1。

在直线AB：y=k（x-1）中令x=4，得M（4，3k），所以k3=3k-31214-1=k-112。

所以k1+k2=2k3。故存在常数λ=2符合题意。

点评在此方法中选用直线AB的斜率k为参数，表示出k1，k2，k3，从而求出常数λ的值。本题也可以选点A或者点B的坐标为参数来表示k1，k2，k3，进而求出λ的值，具体的运算请读者自行完成。这都是解析几何中选用参数的常规方法，在平时的教学中需要有意识地训练学生，已达到熟练掌握的程度。

探究1在上述问题中，点F是椭圆的右焦点，直线l恰好是椭圆的右准线，促使我们思考，该结论是否对任意椭圆都成立呢？将该问题一般化，得到

结论1已知椭圆C：x21a2+b21b2=1 （a>b>0）的右焦点为F，点P是椭圆上与点F的横坐标相等的点，直线l为椭圆的右准线。AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k1+k2=2k3。

证明由题意可知直线AB的斜率存在，不妨设直线AB：y=k（x-c）。

与椭圆方程联立方程组消去 y，得（a2k2+b2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0。

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=2a2ck21a2k2+b2，x1x2=a2c2k2-a2b21a2k2+b2。不妨设P（c，b21a），所以k1=y1-b21a1x1-c=k（x1-c）-b21a1x1-c=k-b21a1x1-c，同理 k2=k-b21a1x2-c。

k1+k2=2k-b21a（11x1-c+11x2-c）

=2k-b21a・x1+x2-2c1x1x2-c（x1+x2）+c2=2k-2e。

在直线AB：y=k（x-c）中令x=a21c，得M（a21c，b2k1c），所以k3=b2k1c-b21a1a21c-c=k-e。所以k1+k2=2k3，得证。

探究2圆锥曲线有很多类似的结论，那么上述结论在椭圆中得到一般性证明，我们就考虑能否将之在双曲线与抛物线中加以推广？

结论2已知双曲线C：x21a2+b21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，点P位于双曲线上且与点F的横坐标相等，直线l为双曲线的右准线。AB是经过右焦点F且仅与右支相交的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。证明：k1+k2=2k3。

结论3已知抛物线C∶y2=2px（p>0）的焦点为F，点P位于抛物线上且与点F的横坐标相等，直线l为抛物线的准线。AB是经过焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。证明：k1+k2=2k3。

这两个结论的证明可以仿照结论1的证明方法得到。

探究3在结论1中，点F为椭圆的右焦点，直线l恰好为椭圆的右准线。如果将右焦点F变化为长轴上的任意点T，则直线l也必将随之而变化，我们来考虑直线l与点T之间的关系。笔者做了更一般化的探究，得到如下

结论4已知椭圆C：x21a2+b21b2=1（a>b>0）的长轴上任意一点T（t，0）（除去顶点及原点），点P位于椭圆上且与点T的横坐标相等，直线l∶x=a21t。AB是经过点T的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。证明：k1+k2=2k3。

该结论的证明可以仿照结论1的证明方法得到。