基于DFA的沪港股市分形特征探讨

摘 要：通过DFA方法分析比较了上证综指和恒生指数的收益率时间序列，发现上海股市具有较好的标度不变性，具有持续性的长程幂律相关，但其持续性逐渐在减弱；而香港股市由持续性特征逐渐转为反持续性特征，其波动性更强，标度不变性较差。这些结果说明两个市场都具有比较明显的分形特征，都不属于弱有效市场，收益率序列遵循有偏随机游走过程。

关键词：DFA方法；分形特征；收益率；标度指数；持续性

中图分类号：F83文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）06-0171-02

分形时间序列的分形结构一般具有两个分形特征：一是标度不变性，即为任意局部与整体之间具有某种方式的相似，也就是说，不同时间标度（如日、周、月等）下的时间序列之间具有相似或相同的统计规律；二是状态持续性，即为过去的信息将对未来的事件产生长期的影响。目前，我国学者在研究资本市场分形特征时多数采用重标极差分析法（R/S），但其只对时间长且没有趋势波动的时间序列有效，当时间序列较短且存在趋势波动时，可能会给出错误的结果。而消除趋势波动分析法（DFA）是由Peng等人，在1994年根据脱氧核糖核酸DNA机理提出的分析幂律函数关系的方法，后被Jan等人（2001）加以改进。该方法能够探测出陷入在表面看来非平稳时间序列中的长程相关性，消除人造非平稳时间序列中的伪相关现象，比R/S分析更具优越性。目前，国内已有学者使用DFA方法分析比较了沪深股市的持续性特征，其中都国雄等（2007）还采用多种高频数据，研究了沪深股市的标度不变性。本文将运用DFA方法探讨沪、港股市的分形特征，并比较这两个市场。

1 DFA方法

对于给定的时间序列x（t），t=1，2，…，n，使用DFA方法做分形分析的步骤如下：

第一步：构造轮廓序列y(i)

y(i)=∑it=1(x(t)-x) （i=1，2，•••，n）（1）

其中，x是序列x(t)的平均值。

第二步：把轮廓序列y(i)分成长度为s的mINT1(n/s)个不相交的等长子区间。当n不能被 整除时，将剩下一部分数据不能纳入到计算。为保证最后结果的准确性，对序列y(i)按i由小到大和由大到小各划分一次，这样对于给定的s，可以得到2m个子区间。

第三步：对每一区间v（v=1，2，…，2m ）里的s个点，使用最小二乘法进行多项式拟合，得拟合方程：

yv(i)=a0+a1i+…，akik (i=1，2，…，s； k=1，2，…)（2）

该多项式为 阶拟合方程，则称本分析为 阶DFA分析，简记为DFA- 。 阶DFA可以消除累加序列的k阶趋势，原始序列的k-1阶序列。

标度指数A是判定序列特性的一个重要指标。当a≠1 /2时，时间序列中不存在任何状态持续性；当 ≠1 /2时，时间序列存在长程相关，时间序列的每一个观测值都带着与它之前所发生的所有事件的“记忆”。0＜a＜1 /2，时间序列具有反持续性的长程幂律相关，反持续的强度随 的减小而增强；1 /2＜a＜1，时间序列具有持续性的长程幂律相关，持续的强度随a的增大而增强；当a＞1时，时间序列具有持久性的长程相关，但不是幂律相关。

2 沪港股市标度指数估计

1990至1996年期间，上海证券交易所刚刚建立，交易制度发生了几次变化，如1993年实行T+0交易制度，1995年开始实行T+1交易制度，1996年12月16日起开始实行10%的涨跌幅限制。为去除交易制度变动对标度指数估计产生的影响，在研究不同阶的标度指数以及不同时间标度下的标度指数时，采用1996年12月16日至2008年2月29日的上证指数收益率时间序列作为研究对象，同时为方便比较，香港股市方面采用相同时间区间上的恒生指数收益率时间序列。而在纵向对比不同时期的标度指数时，将1990年12月19日至2008年2月29日内的收益率时间序列划分为三个区间：第一个分割点为上海证券交易所10%涨跌幅限制开始实行时的1996年12月16日；第二个分割点为2005年4月29日，这一天中国证监会《关于上市公司股权分置改革试点有关问题的通知》，标志着股改正式拉开序幕。另，本文研究的收益率为对数收益率，即x(t)=ln(P(t+1)/p(t))，计算所使用的数据来自Wind资讯，而程（1）不同阶的标度指数有差异， 虽然k值大的高阶DFA分析能够消除累加序列k-1阶的趋势，但是其更容易受到数据中噪音的影响，因此目前多少阶的DFA分析更好，尚无定论。

（2）恒生指数不同阶DFA分析得到的 值差异比上证指数更大，这说明恒生指数波动性比上证综指波动性大，其原因主要是由于香港实行的是无涨跌幅限制以及“T+0”的交易制度。

（3）不同阶的上证综指DFA分析的 值均大于0.5 ，说明其收益率时间序列具有持续性的长程幂律相关，其遵循有偏的随即游走过程，市场非有效，股市过去的消息在很长一段时间内会影响未来。

（4）恒生指数1、2、3阶的 值小于0.5，4、5阶则略大于0.5。

2.2 不同时间标度的标度指数估计

表2中所指的5日、10日、15日、20日收益，均是由相应日数的交易日组成，中间不参杂周六、周日等休市日期，同时，所有 值均由3阶DFA分析得出。

（1）上证综指和恒生指数在不同标度下的a值均有差异，但上证综指差异较小，恒生指数差异更大。说明上证综指具有较好的标度不变性。

（2）随着时间标度的增加，上证综指的持续性越来越显著。

（3）结合表1和表2，可以认为恒生指数具有反持续性的长程幂律相关，其反持续性随着时间标度的增加越来越显著。

2.3 纵向对比不同时期的标度指数

（1）随着股市的不断走向成熟，我们看到上证综指和恒生指数的 值都呈下降的趋势。且上证指数的每个 值都大于恒生指数的 值。

（2）上证综指在第一个时期，刚刚起步，呈现出非常强的持续性长程幂律相关。到第三个时期，持续性已经降到比较小的强度。

（3）恒生指数的在第一和第二个时期呈现逐渐减弱的持续性长程幂律相关，到了第三个时期，已经转成了反持续性。

3 结论

综合上面的分析，我们得到以下结论：

（1）从整体来看，上海股市呈现持续性的长程幂律相关，而香港股市呈现反持续性的长程幂律相关。二者的都存在状态持续性的特征。

（2）分阶段来看，随着股市的不断发展，上海股市长期持续性越来越弱，而香港股市则由长期持续性特征逐渐的转为长期反持续性特征。

（3）对于同一时间序列，使用不同阶DFA分析，得到的 值不同，恒生指数 值差异较大，而上证综指则较小，说明香港股市的波动性比上海股市更强。

（4）上海股市具备较好的标度不变性特征，而香港股市则较差。

（5）沪港市场都具有分形市场的特征，且上海股市分形特征更为明显。表明这两个市场的收益率时间序列都不遵循纯随即游走过程，而是遵循有偏的随即游走过程，过去的信息在很长一段时间内会对股价造成影响，因此两个市场都不是弱有效市场。

参考文献

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注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”