活用数学基础 彰显数学思想

摘 要：中考试题往往是教师教学及学生学习的指针，引领教师的教和学生的学。从本题可以看出教师平时教学要以课本为本，注重基础，钻研教材，用活教材，让学生做到一题多解，形成多题归一的数学思想。

关键词：学生；知识；数学思想

以2016年淄博中考卷第22题为例：如图1，已知ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F.

（1）求证：AE=AF

（2）求证：BE=（AB+AC）

特色1：重基础，突出主干知识，注重数学思想方法的考查。

首先，本题以三角形为载体，立足全等与相似等主干知识，把角平分线、平行线、平行四边形、中点等知识点都融入此题中，是一道综合性比较强的题目。其次，题目采取降低入口，两问，层层递进，每一问都彰显了数学思想，让不同层次的学生都有收获。

特色2：注重通性通法，彰显思维个性。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的基本理念“经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。”在此题第（2）问中对这一理念的理解可以说是一览无余。第（2）问方法多种多样，我总结了几种思路，与同行共享。

证法1：外延型（1）如图2延长BA，在BA的延长线上截取AG=AC，（做平行证线段相等或做线段相等证平行）连接GC，则∠AGC=∠ACG，以证得∠BAD=∠AGC，AD∥GC。所以EM∥GC，可得BE=EG=FC，所以BE=（AB+AC）；

证法2：内截型，如图2过M做MN∥CF（或者去AB的中点）

AEF～ENM，可以证得NE=NM，因为MN∥AC，M为中点，MN=AC，BN=AB，所以BN+NE=AB+AC=BE；

此方法做的辅助线利用了平时教学中相似部分的“A”字形D形的构造，这是学习相似时最基础的知识，这值得老师去反思，教学时我们要回归课本，关注典型例题。

证法3：如图4，不做辅助线：充分利用AE与AF夹在AD∥EM之间的相等线段。

因为AD∥EM，所以DM：BM=AE：EB，DM：CM=AF：FC。因为BM=CM，所以FC=EB。

所以BE=（AB+AC）；

证法4：如图5，全等法+平行四边形：过B点作BG∥EM，过C点作CGBG与EM的延长线FN交于N点则FN为CG的垂直平分线，GF=FC，∠GFC=∠CFN，可以证得∠GFC=∠E，得BE∥GF，则四边形BGFE为平行四边形，则BE=CF，所以BE=（AB+AC）。

本题证法的多样性体现了不同学生对问题的不同理解，有效地考查了学生对所学知识的理解能力和解决问题的能力，体现了对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动的综合考查，因此我们在平时教学中要积极引导学生，注重思想方法的总结，重视通性通法的落实，尊重学生的个性，让学生享受数学活动带来的乐趣。

在几何教学教学中，要注重基本概念、基础知识、基本技能及基本图形的教学，挖掘几何概念隐含的创新细胞，让学生体验基本图形的形成过程（例如三线八角、三线合一、“A、X”形等基本图形），这样既激发了学生的学习意志，又培养了学生的探究能力、创新能力，长期下去，学生就会对几何图形有自己的认识，还能自己总结出基本图形，让学生感受到数学模型思想的价值。

参考文献：

[1]渗透数学思想，感知数学魅力[J].安永平学周刊，2015（21）.

[2]徐德彬.注重数学思想方法把握数学发展脉络[A].新世纪中国教育发展论坛（第二卷）[C]，2007.