向量在解决高中数学问题中的应用研究

【摘 要】在高中数学中向量十分重要，其属于基础运算方式，可有效解决各类数学问题。本文介绍了向量概况，重点探讨了其在高中数学问题中的应用，旨在充分发挥向量的作用。

【关键词】向量；高中数学；问题；应用

随着素质教育改革日渐深入，对高中数学教学提出了较高的要求，为了提高学生数学思维能力，教学实践中应合理运用各类计算方法。高中数学具有一定的复杂性，其理解、运用难度均相对较高，并且涉及诸多的问题，如：平面几何、不等式证明与解方程等，上述问题解决中均可使用向量，其不仅可简化运算流程，还可保证处理效果。

1向量的概况

向量是由古希腊学者提出来的，其源于力学、解析几何，为了表示向量，牛顿采用了有向线段。20世纪末，空间性质和向量运算研究吸引了广大学者，经不断探索与实践，使向量成为了良好的数学体系，其最为显著的特点便是具备运算通性，它有机结合了抽象及形象思维，降低了抽象问题理解难度，此外，它还拥有较强的可行性[1]。向量类型丰富，常见的有单位向量、相等向量、自由向量等，实践中可结合具体的使用情况，选取适合的向量，以此保证应用效果[2]。

2向量在解决高中数学问题中的应用

2.1在平面几何方面

在平面几何领域中，利用向量的方向、大小等，能够对点、线端之间的位置、长度等关系进行体现。基于不同的性质，可将向量分为零向量、共线向量、平行响亮。在平面几何当中，对于一些相关的问题，可以通过向量的知识进行解决，相比于利用几何知识解题更加便利。

例：某三角形MOA，三个顶点M、O、A的坐标分别为（-3，1）、（2，0）、（0，-2）。点B、C、D分别为线端AO、AM、OM的中点。求解线端BC、CD、BD的方程。

在该问题的解决中，可以对向量知识加以运用。根据题目能够得出点B、C、D的坐标分别为（1，-1）、（-1.5，-0.5）、（-0.5，0.5）。假设在BC上有一点H（x，y），向量BC和BH共线且平行，因此根据平行关系，能够对BC的方程进行求解。利用同样的方法，就能够得出BD、CD的方程。

2.2 在不等式证明方面

在一些不等式问题的解决当中，也可以对向量的知识进行应用，通过变形处理使问题得到简化，从而轻易的得出结果。

例：已知x+y+z=1，证明x2+y2+z2≥1/3。

在这一问题的解决当中，可以假设存在两个向量P、Q，其中向量P=（x，y，z），向量Q等于（1，1）。可知|P×Q|≤|P|×|Q|，即（|x+y+z|）2≤（x2+y2+z2）×3，将x+y+z代入，得出结论x2+y2+z2≥1/3。

根据此题能够看出，在对不等式问题进行解决的过程中，如果利用传统方法进行解题，将会十分繁琐和复杂。因此，可以利用相应的向量来代替不等式当中的已知数和未知数，然后将抽象的不等式关系转换为具体的向量关系，就能够轻易的得出结论。需要注意，在利用向量证明不等式的过程中，应当掌握不等式的特点，找出向量切入点，才能准确的解题[3]。

2.3在解方程方面

在高中数学中，很多方程如果使用技巧变形将很难进行求解。而使用向量法，则能够使方程的求解得到简化。例如，已知x，y，z三个实数，能够使在方程4x2+3y+z=13和4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82同时成立，求x，y，z的值。在求解该问题时，使用向量法可以先将两个方程相加，然后对方程两端进行配方，从而得到（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108。通过观察可以发现，得到的式子与向量模一致，所以可以设向量P=（2x，3y+3，z+2），Q=（1，1，1），从而得到P的摸值为6，Q模值为，向量PQ=18≤|P||Q|。所以，只有在2x=3y+3=z+2>0时，不等式才能够成立。由此，则能够完成方程的求解。

2.4在三角函数方面

在三角函数解题上，同样可以使用向量法为相关问题的求解提供便利。例如，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求a，b值。对原式变形可得，（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。而该式与向量数量积保持一致，所以可以设向量P=（1-cosb，sinb），Q=（cosa，sina），PQ=3/2-cosb，|P||Q|=。经过计算可得，cosb=1/2，所以b=60°。将b的值带入原式，则能够完成a的求解。从整个解题步骤来看，使用向量法进行三角函数的求解，能够使其变形步骤得到简化，所以能够使三角函数问题的解决效率得到提高。

3总结

总之，向量作为数学学习工具，具有一定的有效性与可操作性，将其应用于高中数学问题，保证了处理质量。本文仅阐述了其在平面几何、不等式证明及三角函数等方面的运用，日后，通过向量的运用，高中生的数学思维及能力将大幅度提高。

参考文献：

[1]卢向敏.数形结合方法在高中数学教学中的应用[D].内蒙古师范大学，2013.

[2]袁晨均.向量在解决高中数学问题中的运用解析[J].文理导航（中旬），2015，11：18.

[3]李卓洁.关于向量在解决高中数学问题中的应用研究[J].信息化建设，2015，06：212.