证明四色猜想

本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。

四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。

证明

将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。这些射线都属于这个点。

首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。

这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况：

（1）D在ABC之内和ABC相交

当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。

假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。Pbd在P到B点间，Pad在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。（见图3）

（2）D在ABC之外和ABC相交

D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。

若D将ABC一部分包围。那么ABC至少有一点完全被D包围。如图5

若E在D外就不能和A、B同时相交。

若E在D内无论如何最多只能和三者相交。要么和ABD、ACD、BCD，不可能和ABC相交。因为如果在D在外和ABC相交的条件下和ABC为封闭的图形这一大前提下E也和ABC相交只可能E在ABC内，D在ABC外，所以E和D是不可能相交的。

若D完全将ABC包围，则E在D外无论如何都不能和A，B，C相交。E在D内的情形与上述类似。

结论

本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个“三角形”的封闭空间。通过证明第四个平面图形要与这三个平面图形两两相交，只可能在此封闭三角形内而构成新的三个三角形关系；或在外面将三个平面图形中完全包围而成为一个扩展的点。第五个平面图形跟前面四个两两相交的平面图形之间只能形成点和三角形，或点和点的关系。从而简明地证明了四色猜想。本文中用点和线来代表面和面之间的相邻关系，突出了相邻关系的主要矛盾，而忽略了对讨论“四色问题”本质关系不大的形状和大小等次要因素，因而使证明过程变得简单易行。