巧借“门坎效应” 构建解题平台

美国社会心理学家弗里德曼提出“门坎效应”，即一个人若接受了别人某一方面的一个要求，也往往容易接受这一方面的更高的要求。“门坎效应”对中学数学解题教学的启示是：当学生被一道“气势汹汹”的数学题唬住时，我们不妨先降低题目的要求，先只要求他们“进门”，逐步引申，最终将题目解出。长期这样训练学生，不仅可以使一部分学生逐步由“惧怕”数学变为“喜欢”数学，改变他们学习数学的心态，而且可以激发他们的思维，撩拨他们求知的情感，提升他们数学思维的品质。下面笔者结合自己平时教学中的一些做法，谈谈一些体会，权作抛砖引玉。

一、创设问题情景，引导学生“进门”

在现在的数学课堂上，我们经常发现很少学生有“举手踊跃回答问题”的习惯，有些学生一方面本身就惧怕数学，对自己解题没有信心，另一方面又怕自己回答错了，招来同学们的“议论”。这时候，我们作为教师应该鼓励、帮助这些学生克服心理障碍、挖掘学习潜能，应先向他们提出一个小问题，“进门”之后循序渐进。

例1：在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标的斜坐标是这样定义的：若=xe1+ye2，（其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y）。

1.若P点的斜坐标为（2，-2），求P到O的距离|PO|；

2.求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。

学生看到此题后楞了，从未见过在斜坐标系中讨论向量有关问题，心里没了底，我适时抓住学生的心态，采取这样的策略：

师：这次我要请“没举手的、头低着的”来回答。要求回答一下在平面直角坐标系中向量坐标的定义，生1，你来回答。

生1：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得 ，(x，y)叫做向量的坐标。

师：很好！在平面直角坐标系中向量的模又是如何求的呢？（要求用基底代入运算）。

生1：

师：太棒了！，现在你对照刚才自己回答的问题，再来看一下这道题目的第一问，会分析了吗？

生1：我会了，|PO|为向量 在斜坐标系中的模，与直角坐标系中一样，只需将 用斜坐标系中的基向量e1，e2表示，所不同的是平面直角坐标系中基底 的数量积为0，而斜坐标系中基向量e1，e2的数量积为。所以 。

然后我又请刚才也没举手，而现在跃跃欲试的生2站起来回答此题的第二问。

生2：与第一问类似，只需在圆上任取一点M设其斜坐标为（x，y），即为，其余同第一问，我得到的在斜坐标系xOy中的圆的方程为x2+y2+xy=1。

师：很好！非常棒！以后见了陌生的题目，千万别忙着宣布自己“不会”，而要说“让我试试”吧，“敢问路在何方？路就在自己的脚下！”

二、铺设问题台阶，帮助学生拾级而上

有些数学题目的已知条件与结论之间距离遥远，整体驾驭能力不强的学生，往往弃而不解。这就需要我们教师首先将问题分解，给出一个容易实现的子问题，让学生沿着这些“台阶”拾级而上，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。

例2：已知数列{an}满足，an+1=an2-an+1，设

，求证： 1＜Sn＜2。

本题研究对以递推数列形式给出的数列的求和问题，从题设到问题跨度较大，学生对正确解完本题存在一定的困难。为此，我们教师可设计出以下的“阶梯”：

1.求证： （由an+1-1=an（an-1）两边取倒数即得结论）；

2.求Sn（由（1）裂项相消求和即得 ）；

3.求证：an+1＞an＞1（由an+1-an=an2-2an+1=（an-1）2≥0及， an+1=an2-an+1即得结论）。

事实证明：多数学生能够顺着 “阶梯”登上制高点，尝到解题胜利的喜悦。所以我们在教学中要努力为学生创造解题的“阶梯”，使他们逐步掌握数学解题思维的过程，让他们乐于亲近数学，学会解题。

三、分块处理，减轻学生心理压力

有些数学习题文字冗长，条件繁杂，信息较多，学生见了心理压力较大，我们教师在讲解此类问题时常采取“分块”处理，逐步剖析，使其所涉及的问题落到学生们所学的具体知识点上。

例3：已知二次函数 有最大值且最大值为正实数，集合 ，集合B={x|x2＜b2}。

1.求A和B；

2.定义A与B的差集：A-B={x|x∈A且x∈B}。设a，b，x均为整数，且x∈A。P（E）为x取自A-B的概率，P（F）为x取自A∩B的概率，写出a与b的三组值，使P（E）= ，P（F）= ，并分别写出所有满足上述条件的a（从大到小）、b（从小到大）依次构成的数列{an}、{bn}的通项公式（不必证明）；

3.若函数f（t）中，a=an，b=bn。设t1、t2是方程f（t）=0的两个根，判断|t1-t2|是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。

讲解时，由于本题涉及到函数、集合中的新定义、概率、数列及不等式等知识点，条件复杂，仅新定义型的概念问题就对学生构成了较大的心理压力，于是在分析解决此题时，可将题目条件拆开，分块处理，而后分析清楚它们之间联系。在教学思路上可进行这样的设计：

1.先抛开后两问的信息，去求第一问答案；

2.分析P（E）、P（F）的含义；

3.确定集合A与集合B的元素个数，最终确定a与b的值；

4.得数列{an}、{bn}的通项公式；

5.确定|t1-t2|的表达式及最值的求法；

6.综合回顾，合理作答。

本题经过这样的处理后，我们的学生从心理和解题能力上，基本上都能接受了，大多数学生也就很快地解完了该题。

以上从三个方面论述了如何引导学生走进解题的“大门”。 最后必须指出的是，经过一个时期的训练以后，我们应该将迈进“门坎”的主动权交给学生，让他们自减压力、铺设台阶、登堂入室。只有这样，我们才能使“门坎效应”运行至一个较高的境界。