简谐运动中的“中间时刻和位置”结论的应用

摘 要： 高考主要考查学生对机械波形成过程的理解。本文推导出简谐运动的“中间时刻”和“中间位置”，帮助学生突破难点。

关键词： 简谐波 简谐运动 振动方程 中间时刻 中间位置

一、简谐运动中的“中间时刻和位置”结论

分析：如图所示，是简谐运动图像，根据简谐运动振动方程：

x=Asin■t

可推出：

四分之一周期的中间时刻是八分之一周期，即：

t=■T时，x=Asin（ω-■T）=Asin■=■A

振幅的中间位置是二分之一振幅，即：

x=■A时，即■A=Asinωt，即sinωt=■，t=■

二、运用

例1：一简谐横波沿x轴正向传播，t=0时刻的波形如图（a）所示，x=0.30m处的质点的振动图线如图（b）所示，该质点在t=0时刻的运动方向沿y轴？摇？摇 ？摇？摇（填“正向”或“负向”）。已知该波的波长大于0.30m，则该波的波长为？摇？摇 ？摇？摇m。

图（a） 图（b）

解：由图b可知，t=0时刻，该质点的位移■cm，是单个质点简谐运动的中间时刻，在下一时刻，位移大于■cm，所以该质点在t=0时刻的运动方向沿y轴正向。

由振动方程得：

y=Asin■t

即■=2sin■t，sin■t=■

因为波长大于0.30m，所以■t=■π，解得t=■T

由v=■=■得λ=0.8m

例2：一列沿x轴正方向传播的简谐横波，振幅为2cm，波速为2m/s。在波的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距0.4m（小于一个波长），当质点a在波峰位置时，质点b在x轴下方与x轴相距1cm的位置。则（ ）

（A）此波的周期可能为0.6s

（B）此波的周期可能为1.2s

（C）从此时刻起经过0.5s，b点可能在波谷位置

（D）从此时刻起经过0.5s，b点可能在波峰位置

解：根据简谐横波，振幅为2cm，质点b在x轴下方与x轴相距1cm的位置，可判断出是中间位置。对AB选项，根据题意，有两种情况：

第一种情况：

t=0时，波的图像如图1，从图像得

（■+■）λ=0.4，λ=1.2m

根据T=■=■=0.6s，所以A正确。

图1

第二种情况：

t=0时，波的图像如图2，从图像得

（■+■-■）λ=0.4，λ=0.6m

根据

v=■，T=■=■=0.3s

图2

因为只有以上两种情况，所以B错误。

当T=0.6S时，如图3所示，因为波沿x轴正方向传播，上坡下振。

图3

第一次波峰：

t■=■T+■T=0.2s

第一次波谷：

t■=■T+■T+■T=0.5S

当T=0.3S时，如图3所示，因为波沿x轴正方向传播，下坡上振。

图4

第一次波峰：

t■=■T-■T+■T=0.2S

第n次波峰：

t■=0.2+0.3n

n=1时，t=0.5s

第一次波谷：

t■=■T-■T=0.05S

第n次波峰：

t■=0.05+0.3n

不论n取任何整数，t≠0.5s，所以，正确答案是ACD。

参考文献：

[1]韦民.《与名师对话》.2013年3月出版.

[2]http：///Detail_79908.aspx.