简谐运动的物理模型

摘 要： 本文就参考圆对研究简谐运动的规律的妙用作了概述。

关键词： 简谐运动 物理模型 参考圆 妙用

构建物理模型，是研究物理问题的科学方法和重要手段。在简谐运动的描述中，引入物理模型“参考圆”，不仅使简谐运动方程的推导简单易行，而且对抽象概念（如圆频率，相位）的理解更具体形象。对学生而言，既降低了学习难度，明白了振动和圆周运动的联系，又体验到了科学的研究方法，为今后进一步探究简谐运动的规律开辟了广阔天地。那么，什么是参考圆呢？参考圆对研究简谐运动的规律有什么妙用呢？本文概述如下。

一、简谐运动的物理模型——参考圆

设想一个质点做匀速圆周运动，其圆心就是简谐运动的平衡位置。半径为简谐运动的振幅A，过圆心建立直角坐标系（如图1）。以y轴为参照，则做匀速圆周运动的质点P在x轴上的投影的运动就是简谐运动。反过来，可以把任何一个实际的简谐运动设想为一个和它相对应的匀速圆周运动的投影，这个设想的圆周就叫参考圆。

图1

二、参考圆的妙用

1.易推导简谐运动的方程

做简谐运动的振子P看成是做匀速圆周运动的质点P在x轴上的投影。设t=0时P所在位置的半径与y轴的夹角为φ，若做匀速圆周运动的质点P的角速度是ω，经过时间t，P所在位置的半径与y轴的夹角是（φ+ωt），则振子在t时刻偏离平衡位置的位移为：

X=Asin（φ+ωt）

这就是简谐运动的振动方程。

2.好理解圆频率、相位、初相概念的物理意义

通过简谐运动方程的推导，使学生体会到参考圆不仅能将振动和匀速圆周运动联系起来，而且进一步对较难理解的圆频率ω、相位（φ+ωt）、初相φ这些抽象的概念有了具体形象的认识：简谐运动的圆频率ω就是做匀速圆周运动的角速度；简谐运动的初相φ就是初始时刻振子所对应的参考圆上的质点所在位置的半径与y轴的夹角；相位（φ+ωt）就是t时刻振子所对应的参考圆上的质点所在位置的半径与y轴的夹角。有了参考圆，把抽象变形象，降低了学习难度，加深了对概念的理解。

3.能探究简谐运动的周期公式

做匀速圆周运动的质点在x轴上的投影就是做简谐运动的振子。假设t=0时φ=0（如图2）。

对做简谐运动的振子：

F■=kx

X=Asinωt

F■=kAsinωt

与之对应的做匀速圆周运动的质点：

F■=mω■A

该向心力在x轴上的分力就是振子做简谐运动的回复力

F■=F■sinωt

即kAsinωt=mω■Asinωt

ω=■

故T=■=2π■

这个推导过程实在精彩，突出了物理模型对解决物理问题的重要性。它给学生用科学方法探究物理规律以启迪，同时也提高了学生综合运用知识的能力。

4.巧判断简谐运动■时间内振子的最大路程

简谐运动是变速运动，具有对称性的特点。在■时间内运动的路程又具有多解性，其结果取决于振子初始时刻的位置和振动方向。要判断■时间内振子运动的最大路程对学生来说是个难点，教学中更多采用函数求极值的办法。但我们若能巧用参考圆，稍作分析就可判断出振子在■时间内运动的最大路程。

图3

当振子在以O点为中心的■时间内运动时，其平均速度最大，则运动的路程也是最大。所以在刚好运动到距平衡位置O点的■的时间内的位移是最大路程的一半。而振子所对应的做匀速圆周运动的质点在该■时间内转过的角度是■，故振子在■时间内运动的最大路程为

S■=2x=2Asin■=■A.