对称思想在简谐运动中的运用

简谐运动的特点是具有往复性，相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可能等值反向，动能、势能却一定相同。在实际问题中利用这些特点分析问题，往往会收到事半功倍的效果。

一、运动时间的对称性

例1.如图1所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3 s质点第一次过M点；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（ ）

三、回复力和加速度的对称性

例3.如图3所示，一劲度系数为k的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为m1的薄板P，另有一质量为m2的物块B放在P的上表面。向下压缩B，突然松手，使系统上下振动，欲使B、P始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？

分析与解 将B、P看成一个简谐振子，当B、P在平衡位置下方时，系统处于超重状态，B、P不可能分离，分离处一定在平衡位置上方最大位移处，当B、P间弹力恰好为零时两物体分离，此时B的回复力恰好等于其重力mg，其最大加速度为amax=g。由加速度的对称性可知，弹簧处于压缩量最大处的加速度也为amax=g。

由牛顿第二定律得：kxmax-（m1+m2）g=（m1+m2）amax

由此可见，灵活运用简谐活动的对称性解题，可使解题过程简捷明了，达到事半功倍的效果。

四、能量的对称性

例4.如图4所示，原长为30 cm的轻弹簧竖立于地面，下端固定于地面，质量为m=0.1 kg的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26 cm。如果物体从距地面130 cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距地面22 cm时（不计空气阻力，取g=10 m/s2）则（ ）

A.物体的动能为1 J

B.物块的重力势能为1.08 J

C.弹簧的弹性势能为0.08 J

D.物块的动能与重力势能之和为2.16 J

分析与解 由题设条件画出示意图5所示，物体距地面26 cm时的位置O即为物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体距地面22 cm时A′位置的动能与距地面30 cm时A位置的动能相等。因此只需求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律得EkA=mghA=0.1×10×1 J=1 J。物体从A到A′的过程中弹性势能的增加为ΔEp=mgΔh=0.1×10×0.08 J，所以选项A、C正确。

简谐运动在传播过程中有时间上的对称，也有空间上的对称。间谐运动这一理想模型涉及的物理量多，过程较为复杂，综合性较强。在解决简谐运动的问题时，如果能灵活运用它的对称性特点，抓住运动的对称性本质，就会将问题大大简化。可见，熟练掌握并准确应用简谐运动的对称性，能使解题有理有据，简捷明了，达到事半功倍的效果。

（作者单位 江苏省宿豫中学奥赛部）