导数概念的教学设计

1内容特点及学情分析

学情特点：首先，现阶段的中学数学教学大纲中，导数概念及应用也包含在其中，中学大纲的要求是让学生了解导数概念并能进行一些简单的应用，所以在学生眼里，导数概念在中学的课本里已出现，而在高职数学课堂上想让学生再接触该概念，往往容易让学生觉得没有必要甚至产生厌学的情绪，而学生对大学的期望值又高，这时进行导数概念的教学对教师及学生提出了一个更新更高的要求；另一方面该概念超乎了学生的直观想象力，抽象度高，极限概念和运算在学生的思维里只停留在一个单纯简单的运算阶段，而导数概念当中的极限思想远已超越了单纯简单的运算意义；但有利因素在于学生们已有大量的函数瞬时变化率、物理瞬时变化率的经验，且他们的思维正处于最活跃阶段，刚进校对大学的学习充满期望，只要调动得当，自然会引导他们对导数概念的学习产生浓厚的兴趣，从而达到理想的教学目标。内容特点：导数概念是建立在已有函数概念和极限运算的基础上，几乎所有教材都是以两个实例带出，两个引例的内容学生不陌生，它们可作为问题的切入点；导数概念的关健内容是求极限，而这个极限的条件是自变量的增量趋向于零时，内容是一个增量比的极限，这个极限即由平均变化率到点的变化率的过渡。在多年的教学经验中，作者针对以上两个的特点，确定该概念教学设计的总方向是从学生的思维特点出发，把问题化抽象为具体，分解瞬时变化率的内在含义，一步一步地引入，达到了理想的教学效果。其中教学设计的重点是更关注导数是一个极限，是一个瞬时变化率等意义的真正理解，难点是概念当中极限的意义和所起作用，即平均变化率到点变化率的过渡，这个过渡偏偏又是导数概念抽象之处。此时教师如能从不同于在中学时所述问题的角度又高于该角度来进行教学，学生才会更愿意去接受，也会做出比中学时更深入和广泛的应用。

2教学设计和过程

2．1内容设计①内容一：两个引例，以它们作为切入口引入新课，一个是求变速直线运动的某点瞬时速度，另一个是求曲线上某点切线的斜率。②内容二：导数的概念，在分析解决问题的关健时，强调引例中解决问题关健的三个步骤作为引路线，即曲线的斜率中的：Δy、ΔyΔx、limΔx0ΔyΔx；变速运动中的ΔS、ΔSΔt、limΔt0ΔSΔt；分析和分解三个步骤的本质和每步进展所起的作用，指导学生按步骤去思索，使概念的产生水到渠成。③内容三：举例求函数的导数，实践和体会概念。④内容四：导数的几何意义和物理意义。⑤内容五：给出函数不可导的例子和图象，了解不可导的意义。2．1．6⑥内容六：练习及小结，熟练和巩固导数概念。2．2教学方法设计结合导数概念的特点，重点在于分解概念成几个小环节，突出重点，分散难点。教学设计的整个流程如图1。2．3教学过程的实施2．3．1运用多媒体课件的演示给出两个实例，引入新课两个实例：①求曲线上某点的切线的斜率；②求变速直线运动的某点瞬时速度；在此前，学生已有切线概念是曲线与直线只有一个交点这种狭隘的方式，作者利用多媒观性，在图形上用动态的观感来吸引学生的注意，其中动画图形先让学生先通过观察曲线的切线形成过程，是如何由割线通过切换而得，得到对切线概念更广泛的认识；再给动画图形展示如何由曲线的割线位置往切线位置的转动，从动态过程启发理解割线斜率往切线的斜率的转变，这样动画切换可直观地感受和理解无限逼近思想，揭示极限的思想和作用，理解增量比的极限的本质，过渡到更深层的瞬时变化率理解，提高了学生学习积极性，吸引学生的目光。同时通过对求平均速度的分析，由一小段路程的速度转化为一点的速度的形成过程，强调极限在当中所起的作用。在学生观察动画时教师同时提出几个思考的问题：①由一小段的平均速度变换成一点瞬时速度如何实现？②由割线的斜率变换成一点切点斜率如何实现？③Δx0和Δt0的目的何在？④Δx0和Δt0的过程是动态的，还是静止的？2．3．2强调三个步骤及分解三个步骤的本质即求切线的斜率时：Δy、ΔyΔx、limΔx0ΔyΔx，弄清三个步骤中的每项含义并提出思考问题：①Δy是什么？ΔyΔx又是什么？②在求极限过程中，Δx和x谁是常量，谁是变量？③ΔyΔx、limΔx0ΔyΔx的区别与联系？2．3．3抽象形成概念其中提练出导数概念是：函数y=f(x)，若自变量x在x0处有增量Δx，则函数y相应地的增量Δy，Δy=（fx0+Δx）-f（x0），比值ΔyΔx=（fx0+Δx）-（fx0）Δx若当Δx0时，ΔyΔx的极限存在，则这个极限值称为函数y=f(x)在x0处的导数。2．3．4概念的引申拓展在给出概念后，还要对概念进行引申拓展，导数是一个极限，又不是一个普通的极限，这个极限的含义还可以有以下形式如：①limΔx0ΔyΔx；②limΔx0（fx+Δx）-（fx）Δx；③limxx0f(x)-f(x0)x-x0④limh0f(x+h)-f(x)h。作者在学生理解了上述几个形式后，还会给出以下形式，让学生思考下列各式子可表示什么：①limΔx0（fx-Δx）-（fx）Δx；②limh0f(x+2h)-f(x0)h；③limh0f(x+h)-f(x-h)2h等。2．3．5以例子加强概念内涵的理解①导数概念内涵挖掘一：求函数的导数即求出一个极限。例1：求函数y=x2的导数作为例子，按上述三个步骤求出该函数y=xn的导数。再以求函数的导数作为例，得出幂函数求导公式，即（xn）′=nxn-1。当中通过求导过程引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与其中获取知识，巩固概念，发展思维，感悟数学，提高学习的积极性。②导数概念内涵挖掘二：函数的导数是一个不定型的极限。结论：导数是一个极限值且是一个不定型的“00”型，反过来极限值也可通过导数概念来解释。③导数概念内涵挖掘三：函数的导数是一个瞬时变化率，几何意义、物理意义箅经济意义。教师给出下列问题加强对瞬时变化率的理解：1）导数概念y′=limΔx0ΔyΔx，是变量y对x的瞬时变化率。2）如求函数y对自变量x的瞬时变化率时，则有切线斜率y′=limΔx0ΔyΔx；如求路程S对时间t的瞬时变化率时，则有速度v=s′=limΔt0ΔsΔt；求速度v对时间t的瞬时变化率时，则有加速度a=v′=limΔt0ΔvΔt；求市场需求量q对价格p的瞬时变化率时，则有需求弹性Ep=q′=limΔp0ΔqΔp。求电量Q对时间t的瞬时变化率时，则有电流i=Q′=limΔt0ΔQΔt等。④导数概念内涵挖掘四：函数的导数与连续的关系，不可导的理解。例3：求函数y=|x|在x=0处的导数，按上述三个步骤求。求极限时：因ΔyΔx=|x+0|-|x|Δx=|x|Δx=1x>0-1x<姨0limΔx0+ΔyΔx=limΔx0+1=1limΔx0-ΔyΔx=limΔx0-(-1)=-1由结论得此时极限不存在，即该点不可导。结论：即曲线的尖点处不可导，连续不一定可导。例4：给出圆的图象，通过作圆的切线，当圆的切线与x轴垂直时，此时切线的斜率k=tanπ2不存在而y′=k，由结论得此时导数也不存在，即该点不可导。结论：切线与x轴垂直时，该点也不可导。在对导数内涵发掘的过程中，为学生营造可以讨论问题认识问题的机会，以这种教学形式介绍导数概念，不但使学生学习积极性被充分地调动起来，主动地思考和发现问题，增加了学生的知识面，使导数概念丰富多彩，同时运用数学思维方法来解决问题的能力得到了更大的提高，有助于创新和应用能力的培养。2．3．6学生做练习及教师小结，巩固导数概念安排完成练习，用导数定义求下列函数的导数：①y=x3；②y=1x。巩固导数概念的三个步骤。高职数学教学中，在课堂上把数学概念枯燥难以接受的内容进行上述精心的教学设计，让内容更丰富立体，知识变得生动有趣，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度，也达到了高职数学课堂上的素质教育目标，培养了学生的数学素养。为更好落实教学目标，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，为学生创设思考想象的空间,让学生感受探索的乐趣，把瞬时变化率这个抽象难以理解的概念学到并在将来有机会进行运用。

3教学设计过程的反思

在数学概念的教学设计中，还要充分了解学生的基础和知识面，往往学生的难点不一定出现在本节所要理解的内容上，如推导幂函数的求导公式时，Δy=（x-Δx）n的展开式往往是学生遗忘较大的，在该环节上还要补充中学的知识才得以完成。

作者：黄丽嫦 单位：佛山职业技术学院