集合学习中的几个难点探究

摘要：集合是现代数学的基本语言，使用集合可以简洁准确地表达数学的一些内容。高中数学要求学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，但是由于集合知识概念新颖，符号繁多，初学者往往望而生畏。

关键词：集合元素；集合关系，空集；数形结合

一、集合的三个特征

集合中的元素有三性：确定性、无序性、互异性，忽视“三性”，特别是“互异性”，会造成错解或漏解。

1.元素的确定性

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象是不是这个给定的集合的元素，绝无模棱两可的情况，这是集合的最基本特征。例如给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，其他对象都不属于这个集合。再如“著名的科学家”，“好看的鸟儿”都不是集合。

2.元素的互异性

任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合的一个元素，在同一集合里不能重复出现同一元素。如{1，a2}，根据集合中元素的互异性，可知这个集合中两个不同的元素，其中一个是实数1，而另一个一定不是1，所以a≠1且a≠-1。

3.元素的无序性

在一个集合里，通常不考虑元素之间的顺序，因此判定两个集合是否相同，仅需判定它们的元素是否一样，无需考查元素的排列顺序是否一样，如{a，b}与{b，a}是相同的集合。

二、元素与集合、集合与集合之间的关系

元素与集合的关系是属于与不属于的关系，∈用在元素与集合之间表示从属关系；集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，分别用？哿，？奂，=表示，需要注意以下几点：

1.任何一个集合是它本身的子集，因为对于任何一个集合A，它的每一个元素都属于本身，记作A？哿A。

2.A？哿B指A？奂B或A=B，二者只能成立一个；反之，A？奂B或A=B都可记为A？哿B。

3.证明两个集合相等的方法：若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A=B；若A、B是无限集时，预证A=B，只需证A？哿B且B？哿A即可。

三、空集

1.空集的概念

不含有任何元素的集合称为空集，记作？覫。要注意数0、集合和空集的区别，数0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，而？覫是不含任何元素的集合，同时要注意不要把空集错误地写成{空集}或？覫。

例.下列哪个关系是错误的？

A.？覫？奂0 B.0∈{0} C.0？埸？覫 D.？覫∈{0} E.？覫？奂{？覫}

解析：其中A、B、C、E都对，而？覫不是{0}的元素，故选D。

2.空集？覫的性质

（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，特别要注意不能说空集是任何集合的真子集。

（2）对任意集合A，有A∩？覫=？覫，A∪？覫=A；在全集U中，由补集定义还可以推出：A∩δu=？覫，δu=？覫，δu=U。

例.下列结论正确的是（ ）

A.集合A={1，3，5}，集合B={2，4，6}，则A与B没有相同的子集

B.A={{？覫}，？覫}，B={？覫}，则A=B

C.A={{？覫}，？覫}，那么{？覫}？奂A与{？覫}∈A都正确

D.集合A、B有相等子集，则必存在元素x，使x∈A，且x∈B

解析：集合A与集合B虽无相同的元素，但它们还是有相同的子集？覫，所以A、D错，B也显然错，在C中，{？覫}既是{{？覫}，？覫}的元素也是其子集，所以选C。

四、数形结合在集合中的应用

用形来代数，形象而直观，因此数形结合的思想在数学中广泛应用。

1.韦恩图在集合中的应用

例.设全集U={x|0

本题关系较为复杂抽象，用推理方法较难，使用韦恩图，则简捷方便。

解：由题意知U={1，2，…，9}，根据题意，画韦恩图，如图1，易得A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}。

2.数轴在集合中的应用

例.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x

解：由A∪B，确定a与1、4的大小关系，将集合A、B表示在数轴上，如图2，更容易发现三个点个关系，得a≥4。

五、结论

深刻理解集合元素的三个特性，尤其是互异性；熟悉元素与集合、集合与集合的关系，理解空集的特性，恰当地应用数形结合的解题思想解决抽象的集合问题，可以使集合的学习达到事半功倍的效果。

（作者单位 甘肃省岷县第三中学）