平方差公式的教与学

【摘要】平方差公式在七—九年级阶段的教学中具有重要的地位，根据新课程理念，结合平方差公式的特殊结构特征以及推出公式的过程来谈谈课堂中的教与学。

【关键词】平方差公式　特殊一般　面积

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）11-0156-01

新课程要求在数学新课的传授时，应该在教材基础上对教法有新的突破。只有通过一些灵活多样的形式体现，就可以使学生迅速进入学习意境，使教与学能够有机结合，达到事半功倍的效果，现结合平方差公式的教与学作一些探索性的分析研究，仅供大家参考。

本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式。难点是公式推导的理解及字母的广泛含义。平时的平方差公式的教学往往是简单的引入，重点放在练习上，这有违教材的初衷。教材的重点推导是为了培养学生观察、猜想、总结的能力，可以从已经学习的多项式乘法入手，做相应的题目，从中总结推导出平方差公式。而对于平方差公式的应用，是为了使学生熟练、准确地应用这个公式，可以选取有代表性的题目，进行相应的练习，当然，在练习的过程中，为了调动学生的积极性，可以比赛的形式进行练习。对于平方差公式几何背景的了解，是为了培养学生的动手能力和实践能力，可以采用亲手剪拼图形的方法。

一、引入推导

引入：过程在教学中首先采用比赛速算的方法：看谁先计算出结果：9998×10002，通过比赛来提高学生学习的兴趣，激发学生的学习热情，增强获得新知识的欲望。

（一）观察与思考1：　左　右

（2+1）（2-1）　22-1

（3+2）（3-2）　32-22

（-2+1）（-2-1）　（-2）2-1

看看上面每行的左右两列的结果大小关系，你能得出怎样的规律？（提示：把括号内的数用字母表示）　如何证明你的结论？（提示：用多项式的乘法。）

观察与思考2：　左　右

（a+b）（a-b）　a2-b2

（3x＋2　）（　3x－2　）　（3x）2-22

看看上面每行的左右两列的结果大小关系，你能得出怎样的规律？如何验证。请同学写出来，由学生得出结论平方差的公式。

逐渐由特殊到一般，找到规律。这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。

3.计算下列各题，看谁做得又快又准？

（1）（a+b）（a-b）　（2）（x+y）（x-y）

（3）（x＋4）（x－4）　（4）（1＋2a）（1－2a）

（5）（m＋6n）（m－6n）　（6）（5y＋z）（5y－z）

（7）（2a+b）（2a-b）　（8）（2m+3）（2m-3）

在这里抓住学生的好胜性，放手让学生练，凸显学生学习的主体地位，让学生暴露学习这个公式时遇到的各种情况。通过练习。剖析公式，发现本质，强调公式的左右两边的特征，解决学生中的典型错误。在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。比如：在运用公式的过程中，有时需要变形，例如（a+b+c）（a-b-c），变形为，两个数就可以看清楚了。

强化训练，突出本质。

4.指出下列计算中的错误：

（1）　（1+2x）（1-2x）=1-2x2

（2）　（2a2+b2）（2a2-b2）=2a4-b4

（3）　（3m+2n）（3m-2n）=2m2-2n2

再次通过典型错误的突出公式的特征。由学生总结：

①什么是平方差公式？

②运用公式要注意什么？从下面两个方面回答：

a.要符合公式特征才能运用平方差公式；

b.有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。

二、几何解释

1.活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系（a>b>0）。

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通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动，利用这些图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性，渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系。引导学生学会从多角度、多方面来思考问题。对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，验证了其公式的正确性。使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系，是看得见摸得着的，纠正　“数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际的意义”这样的偏见，初步感受数形结合的例子。再让学生观察课本P79页的图形自行给出过程，同学之间交流。

2.学生练习：某住宅小区的花园，起初被设计为边长为　米的正方形，后因道路的原因，设计修改为：北边往南平移2.5米，而东边往东平移2.5米.　试问修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？

解：如图（1），原花园的面积S=a2.

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（1）　（2）

修改后的花园如图（2）所示，其面积S后=（a+2.5）×（a-2.5）=a2-2.52

所以，　S-S后（m）=a2-（a2-2.52）=2.52=6.252

答：修改后的花园面积比修改前少了6.25平方米。

通过此例让学生感受数学是生活中无处不在的，只要我们有心，便能在生活实践中发现数学，使用数学，使数学成为我们解决的实际问题的工具，而不是单纯的、枯燥的。平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果，它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此，它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，它是让学生感悟换元思想，由一般到特殊的思想，初步体会数学归纳法、数形结合的方法，感受数学的再创造性的好教材。在教学中应突出教的主导与学的主体的和谐统一达到事半功倍的效果。