《平方差公式》教学设计

一、教材内容解析

《平方差公式》是在学习了有理数运算、一元一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是学生初中阶段接触到的第一个公式。

本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。

二、教学目标及解析

（一）目标

①经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力。

②掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算。

③会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。

（二）目标解析

学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，可以进一步发展的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养合情推理和归纳的能力，以及在解决问题过程中理解与他人合作交流的重要性。

让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解。

通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣。同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。

三、教学过程设计

（一）创设情境，引出课题

问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

①（x+1）（x-1）=_______；

②（m+2）（m-2）=_______；

③（2x+1）（2x-1）=_______。

【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式――平方差公式。

（二）探索新知，尝试发现

问题2：依照以上三道题的计算回答下列问题：

①式子的左边具有什么共同特征？

②它们的结果有什么特征？

③能不能用字母表示你的发现？

师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a+b）（a-b）=a2-b2。

【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理。

（三）数形结合，几何说理

问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系（a>b>0）。

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【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系。引导学生学会从多角度、多方面来思考问题。对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，验证了其公式的正确性。

（四）总结归纳，发现新知

问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

（a+b）（a-b）=a2-b2

【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力。

（五）剖析公式，发现本质

在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，其结构特征为：

①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即a2-b2；

②让学生说明以上算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式。

【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式。在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。

（六）巩固运用，内化新知

问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算：

（1）（2x+3a）（2x-3b）； （2）（t2+1）（t2-1）；

（3）（－m+n）（m－n）； （4）（-2p-3x）（2p-3x）；

（5）（a+b+c）（a+b-c）。

【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件。巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解。

问题6：判断下列计算是否正确：

（1）（2a-3b）（2a-3b）=4a2－9b2（ ）

（2）（x+2）（x-2）=x2－2（ ）

（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4 （ ）

（4）（m+2）（m-3）=m2-6（ ）

【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件。

问题7：计算：

（1）（2x+3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）。

解：（1）（2x+3）（2x-3）=（2x）2－32=4x2－9

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（a + b）（a-b） = a2 - b2

（2）（b+2a）（2a－b）

=（2a）2－b2

=4a2－b2

【设计意图】解决操作层面问题。可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性。

（七）拓展深化，发展思维

问题8：计算：

（1）98×（－102）； （2）（y+2）（y+2）-（y-1）（y+5）。

【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行。

问题9：小明家有一块“L”形的自留地，现在要分成两块形状、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你来帮小明设计，并算出这块自留地的面积。

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【设计意图】运用平方差公式解决实际问题，体现了数学来源于生活，服务于生活，学生感受到学习了有用的数学，设计此题与平方差公式的几何意义相吻合，加深学生对平方差公式的理解。

（八）小试牛刀，挑战自我

问题10：在下列括号中填上合适的多项式：

①（5x+2y）（ ）=25x2-4y2

②（ ）（ ）=81-a2

（2）看谁算得又对又快：0.652-0.352

【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫。第2个填空题有两种填法，属开放设计。目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维。

（九）总结概括，自我评价

问题11：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？

【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识。

（十）课后作业

必做题：P156习题15.2

选做题：1.A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A的末位数是_______。

2.计算：（1）x2+（y+x）（y-x）；

（2）20082-2009×2007；

（3）（0.25x-2y）（-0.25x+2y）；

（4）（a+12b）（a-12b）-（3a-2b）（-3a-2b）。

【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展。

四、目标检测设计

选择题

1.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）

A.（-a-b）（a+b） B.（-a-b）（a-b）

C.（a+b-c）（-a-b+c） D.（-a+b）（a-b）

填空题

2．计算：（1+3a）（1-3a）=______；

3．计算：（-2y-3x）（3x-2y）=______；

4．（_____－4b）（_____+4b）=9a2－16b2．

计算

5.（st-1）（st+1）；

6．（-2y-3x）（3x-2y）

7．53×47.

解答题

8.已知：两个正方形的周长之和等于32cm，它们的面积之差为48cm2，求这两个正方形的边长.

【设计意图】对本节重点内容进行现场检测，及时了解教学目标的完成情况。