例说用物理方法解决数学问题

江湖俚语称“烟酒不分家”，高中教学则有“数理不分家”.确实，解决物理问题与数学手段的关系最密切，没有数学基础，物理是不能学好的；但人们不能忽视，物理之与数学，同样有着重要的“反作用力”，这里例说几个，请大家欣赏鉴定并批评指正，共同探讨数理交融教学的得失.

利用重心概念证明三角形的三条中线必定相交于一点：

模型为一块均匀三角形薄板，把它平行于一边分割成无数条等间隔条子，则每小条可以看作一条“线段”，它的的重心在它的中点；因为这些“线段”是按相同比例 毗邻递进的，所以把这些点连起来应该是一条直线，它就是三角形ABC中BC边上的一条中线AD，显然三角形总的重心必定在这条中线上；另两条边作类似处理，则三角形的重心也应该在那两条中线上；而三角形的重心只有一个，所以三角形的三条中线必相交于一点，且这一点就是它的重心.

利用光程最短原理确定路径：

如图2，右方块代表沙漠地，左方块是草地，AC是分界线；车在绿地中速度可达5 m/s，沙地中是3 m/s；从分界线上A点出发，要去沙地中的B处，且B到分界线的垂直距离BC=400 m，而AC=1000 m，要用最短的时间到达目的地，请问行进路线如何设计？最短的时间是多少？

考虑总的路程要少一点，显然直接到C点再转向B是不合算的，应该从AC之间的某点折向B；且因绿地中的车速大一点，所以要尽可能在AC上多跑一点；故设在D点转弯，并设AD=x；可立得关于用时的函数关系式：

t=x5+（1000-x）2+1600003.

如何求此函数的极小值？兴趣小组的同学认为可以先求导而解决，但求导法对绝大多数的学生是不现实的；另有一同学建议极好：利用Excel强大的计算功能，先输入函数式，再逐个输入x的猜想值，可以无限逼近而找出相应的x和t值，甚至直接利用计算器也行，只是多花一点时间.

可不可以更简便一点呢？提示他们试用物理方法后，他们也很快找到了解决的办法：

利用光路可逆和光程最短原理，沙地和绿地相当于两种介质，相对折射率为5/3，从沙地向绿地的“全反射临界角”sinC=1/n=3/5，C=37°；这样很容易定出车在沙地中要跑500 m，在边界绿地上要跑700 m，所用的最短时间为

tmin=（7005+5003） s，

比直接用数学求极值法要简单多了，而且可以避开导数这一高中数学瓶颈.

你如果有兴趣，完全可以把这种特殊情况向一般性的现实推进：左侧草地上的车速可达v1，右侧沙地上可达v2；出发点A，目的地B，A到边界的距离为AE=d1，B到边界的距离为BC=d2，CE=L，如图3所示.

利用光程最短原理，设D为最佳拐点、DE=x，用光的折射定律就可以求出x的值并继而确定最少的过程时间.

求抛物线上任一点的切线方程和曲率半径：

已知抛物线的方程为y=ax2（其它的可以通过平移、旋转转化至此形式），求某点P（x1，y1）的切线方程和曲率半径.

构建合适物理模型：如图4，一个质量为m的小球从O点以水平初速度v0作平抛运动，到达抛物线轨迹上的P点，瞬时速度v是抛物线在该点的切线.

利用平抛物体运动的规律，我们极容易地证明此时速度的反向延长线必交x轴于（x1/2，0）处，所以作这条切线也就十分明确，它的方程可以用两点式写出：

y-y1x-x1=y1-0x1-x1/2；

那么作它的垂线并求其方程自然也就没有问题了，可见曲率圆的圆心就在这条垂线上；再据图可求得

sinθ=x1/2x21/4+y21=11+4a2x21（1）

从平抛规律可有，x1=v0t，y1=12gt2且y=ax21，

由此可以得到 v20=g/2a（2）

根据曲率圆上向心力的提供法可得

mgsinθ=mv2/r（3）

从抛出点到P点符合机械能守恒，简写作

v2=v20+2gy1=v20+2gax21（4）

联解（1）、（2）、（3）、（4）可得曲率半径的大小为

r=（1+4a2x21）3/22a.

为了放心，我们再用数学方法加以验证：对y=ax2求一阶、二阶导数y′=2ax，y″=2a，

其曲率半径公式r=|（1+y′2）3/2y″|=（1+4a2x21）3/22a，

说明物理方法可靠无误.

利用开普勒定律推导椭圆面积公式

高中数学不能推导椭圆的面积公式，我们可以用物理方法试一试.

构建合适的物理模型为行星绕太阳公转如图5，太阳处在焦点F1，设定太阳的质量为M，行星的质量为m，近日点的速度为v1，远地点为v2，近地点和远地点的曲率半径均为r，则根据机械能守恒可得

12mv21-GMma-c=12mv22-GMma+c（1）

从向心力的提供角度可有

GMm（a-c）2=mv21r（2）

GMm（a+c）2=mv22r（3）

联解（1）、（2）、（3）消去GMm就可以得到r=b2a.

对近日点来说，从向心力的提供法可得

GMm（a-c）2=mv21r，

把上面所得r=b2a代入即可有

v1=ba-cGMa；

根据开普勒定律，行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等，则在极短Δt时间内，行星与太阳连线扫过的面积都应该为ΔS=a-c2v1Δt；那么扫一圈也就是椭圆的面积应该为

S=∑T0a-c2v1Δt=a-c2v1T；

且开普勒定律又告诉我们，行星的运动周期的平方与其半长轴的三次方的比值是一个常数，则此行星的运动周期T与另一颗绕太阳作半径为a的圆运动的行星相等，而对于作圆运动的行星周期，我们容易求出

GMma2=ma4π2T2，

则T=2πa2GM，把T和v1的计算式代入面积计算式，就有

S=a-c2v1T=a-c2・ ba-cGMa2πa3GM=πab.

数理教学交融

从上面的例说可以看出，有的数学问题很难直接找到解题思路，但物理方法可以引人入胜；有的数学问题，倒不如用物理方法求解来得更简洁方便.更重要的是，用物理方法研究、解决数学问题，体现了数理交融，使之相辅相成甚至相得益彰；物理老师因为时常动用数学手段，与数学的接触实是频繁，这就提供了研究一些数学问题的机会，我们认为数、理老师多有交往切磋，对双方的教学肯定有助益，你说呢？