关于“丢番图(Diophantus)猜想”的论证

摘要：

丢番图（diophantus,约公元246年至330年）猜想：

如果是两个正整数，且是完全平方数，那么：

则：是一级“勾股数组”。

以下是作者本人在论证“丢番图”猜想的过程中，所形成的第二个命题：

命题二：任意给定的一个偶数（），则一定存在正整数，使之满足：，且组成“勾股数组”的数量为：在的因数中小于或等于的所有偶因数的个数，其“勾股数组”的计算公式为：

摘要：丢番图”猜想；勾股定理；勾股数组；勾股三元数组；完全平方数。

命题二：

在直角三角形中，任意给定的一直角边为一个偶数（）时，则一定存在正整数，使之满足：；且组成“勾股数组”的数量为：在的因数中小于或等于的所有正偶因数的个数之和，其“勾股数组”的计算公式为：

。

证明：充分性

假设：在直角中，，两条直角边长分别为，斜边为，其中为正偶数，、均为正整数。

根据勾股定理可得：

（1）

则令：（其中的整数）

由此推出：

（2）

把（2）代入（1）可得：

所以，

经整理可得：

并可以推出：

（3）

再令：（其中的整数）（4）

由（4）可得：

（5）

把（5）代入（3）可得：

所以，（6）

由此我们把（2）、（4）、（6）综合可得如下结论：

（7）

因为是正整数，由（6）式可知：也是正整数。

所以，令：（其中的整数）.

故：

由（4）式可知：

，故就一定是一个完全平方数；所以（7）式可转化为：

（8）

因为，又因为是一个完全平方数且又是偶数，所以的偶数；在式子：中，因为是偶数，也是偶数，所以为偶数，所以的偶数，故，即：。

又因为：

所以，

（9）

由（9）式可知：。

又由于：

的整数

故：

（10）

解这个不等式可得：

由（8）式可得：，且的正偶数，所以不等式（10）的解集为：

（取正偶数）（11）

综上所述，当是大于或等于4的正偶数时，则的值可取在的因数中中的每一个正偶因数；因此在的因数中，有多少个的正偶因数，那么就会产生多少个相应的正偶数，并由 ，产生并计算相应的，在得到的值之后，就可利用如下公式：

（12）

来计算相应的，从而可得到以偶数为一直角边的所有“勾股数组”。

必要性：

若一个三角形的三边满足：

.

则：

而：

。

命题二证毕。

例:当直角三角形的一直角边时，能组成多少个“勾股数组”？并指出每一个“勾股数组”的具体组合。

解：

即：.

而在中小于或等于18的正偶因数共有7个(2,4,6,8,12,16,18)，因此以24作为一直角边所构成的“勾股数组”共有7个；详见表1：