类比分析方法在随机信号分析课程教学中的实践

[收稿日期]20150926[基金项目]湖北省高校省级教学研究项目（2012232）；三峡大学教学研究委托项目（W201505）

[作者简介]夏平（1967），男，湖北麻城人。教授，硕士，主要研究方向为计算机视觉、智能信息处理、多尺度几何分析及应用。[摘要]《随机信号分析》课程主要讨论随机信号的信号分析以及随机信号经过线性时不变系统后系统对随机信号的影响，即随机信号的系统分析问题；《信号与系统》课程讨论的是确知信号的系统分析问题。教学过程中采用类比分析的方法将这两门课程内容进行比较，探讨两门课程研究对象与分析方法的异同，有助于学生正确理解和掌握《随机信号分析》课程的基本概念、基本理论、及课程的体系结构，为后续专业基础课《通信原理》的学习奠定扎实的基础。

[关键词]随机信号分析；信号与系统；类比分析；教学实践

[中图分类号]G642；TN911[文献标识码]A[文章编号]10054634（2016）050083050引言

《随机信号分析》课程是电子信息工程和通信工程等专业的一门非常重要的专业基础课程。对随机信号的信号分析、以及随机信号（重点是平稳随机信号）通过线性时不变系统后系统对随机信号的影响分析是该课程的中心任务[13]。学生对该课程的掌握程度将对后续的《通信原理》《移动通信》等重要专业基础课程和专业课程的学习产生直接影响。

《随机信号分析》课程的教学中，较多学生对该课程的学习存在两方面的问题[4]：（1）相当多的学生将该课程作为一门数学课程来学习，没有理解概念所包含的物理含义；（2）学生认为这门课程内容太难。究其原因，没有从整体上把握这门课程讨论的主要问题是什么，与先修的《信号与系统》与《数字信号处理》等信号类课程的关系是什么。从本质上讲，《信号与系统》课程讨论确知信号的系统分析问题；《数字信号处理》探讨确知信号的系统综合问题[4]；而《随机信号分析》则阐述随机信号的系统分析问题。基于此，本文以类比分析思想探讨《信号与系统》与《随机信号分析》课程的研究对象、体系结构、分析方法的区别与联系，帮助学生正确理解随机信号的基本概念和基本分析方法。

1《随机信号分析》课程体系结构

《随机信号分析》课程从随机信号分析与处理的角度，讨论了随机信号的基本信号分析方法以及随机信号经过线性系统后系统对随机信号产生的影响[5]。本课程重点考虑的是平稳随机信号的信号分析，以及平稳随机信号经过线性时不变系统后系统对信号的影响。

随机信号是自然界和人类社会常见的一种信号形式，针对单次实验而言，随机信号似乎没有规律，但随机信号的规律性体现在大量重复试验时的集体现象中，即统计规律性。因此，统计与概率的概念伴随《随机信号分析》课程的始终，也是随机信号分析的出发点，随机信号的表述方式以及推演方式都应以统计特性和规律为出发点，这是本课程一个最根本的特征，这与确知信号的信号分析有本质的区别。随机信号的信号分析方法，类似于确知信号的信号分析方法，仍然从两个方面描述：时域分析和频域分析，在随机信号的这两种描述中，其研究对象都是针对随机信号的随机变量进行讨论。

线性时不变系统对平稳随机信号的影响亦从时域和频域两个角度进行分析。时域中主要探讨零状态响应的随机信号的特性，包括响应随机信号是否平稳，响应随机信号与激励平稳随机信号的数学期望、自相关函数、互相关函数、以及系统冲激响应之间的关系等。频域分析中主要探讨零状态响应随机信号的功率谱密度与激励随机信号功率谱密度之间的关系，同时，建立了平稳随机信号时域分析与频域分析之间的联系，即维纳―辛钦定理，如图1所示。

2类比分析方法在课程教学中的实践

《随机信号分析》课程作为电子信息类专业信号分析类课程之一，其课程的体系结构、分析思想和分析方法与信号类其它课程有许多相似的地方，特别是《信号与系统》课程。两课程分别探讨随机信号的系统分析和确知信号的系统分析。因此，在学习过程中，采用类比分析方法有助于本课程的学习，讲授过程中通过与《信号与系统》课程相关内容的比较，分析两门课程内容的异同，便于强化学生对这两门课程基本概念、基本思想的理解与掌握。

2.1课程体系类比

综观《信号与系统》课程，主要讨论确知信号的两大系统的系统分析问题，即：线性时不变连续时间系统和线性时不变离散时间系统的系统分析问题。系统分析就是要解决已知系统的结构及其参数，依据激励探讨系统对激励的影响问题，如图2所示。

与图1类比不难发现，《随机信号分析》与《信号与系统》两门课程在体系结构上相似。相同之处：都是探讨信号经过已知线性时不变系统的系统分析问题；其分析思路都是从信号分析和系统分析两个方面进行；并且，无论哪一方面都是从时域分析和频域分析两个角度展开；研究对象都是主要针对线性时不变系统。不同之处在于：研究的对象（信号）不同，《信号与系统》课程针对（连续、离散）确知信号，而《随机信号分析》课程针对随机信号。基于此，随机信号的信号分析思想与确知信号的分析思想存在本质的不同，随机信号的样本显示的随机性以及每一纪录在随机信号中以一定的概率出现决定了其分析必须采用统计的方法进行。

通过两门课程体系结构的类比，学生根据已有的知识能较快地把握《随机信号分析》课程的主要研究问题，找出与先修《信号与系统》课程之间的联系与差别，提高学习的针对性。

2.2研究对象与分析方法类比

两门课程一个研究对象是确知信号，另一个是随机信号，根据这两类信号的特点，确知信号能建立具体的数学模型，能用精确的数学函数描述，因此其时域分析（包括信号的平移、反褶、尺度变换、多信号的和与积等）相对较简单。当信号满足狄里赫利条件时，其频域分析用傅里叶变换进行。而随机信号因每一样本以一定的概率随机变化，无法用确定的数学模型描述信号的变化规律，尽管某个记录的出现是随机的，但信号的每一记录均是以一定的概率出现，服从统计分布规律。因此，随机信号的时域分析应用统计的思想研究其变化规律。

同时，两门课程讨论的系统主要是线性时不变系统，因此，系统的线性、时不变性等性质在两门课程的分析中都是一致的。换言之，《信号与系统》课程的线性时不变系统知识与分析方法在《随机信号分析》的学习中可以直接应用。

3几个基本概念讨论

3.1随机信号与随机变量的理解

随机信号与随机变量概念是两个最基本的概念，贯穿整个课程学习的始终。两个概念实际上从先修的《概率论与数理统计》就有所接触，尽管如此，在《随机信号分析》的教学中发现，仍有相当的学生对这个概念缺乏认识，体现在研究随机信号的基本特征时，不少学生总认为是用随机信号进行分析，求统计平均时，不少学生对时间t进行积分等。事实上，随机信号的信号分析是针对随机信号的一个或几个随机变量进行研究，通过不同时刻随机变量的基本特征反映该随机信号的规律性。

随机信号将确知信号的概念从实数与实数的对应关系推广到实数与随机变量的对应关系。对确知信号而言，t∈T时，总有一个确定的实数值与之对应；而随机信号，t∈T时，与之对应的X（t）是某固定时刻t的一个随机变量。

随机信号是随机变量概念的推广，随机变量是在固定时间t上试验的结果，是一个数的集合；而随机信号是在t∈T上试验结果，是一个时间函数的集合，当t确定时，随机信号就成为一个随机变量。随机变量的统计规律反映了随机信号每一样本在该时刻的变化规律。因此，随机信号的分析中，统计平均的积分，所涉及的t应该理解为任意选取时刻t，一旦选定，t是一个固定值，是选取的时刻。

3.2基本特征的信号类型

随机信号的基本特征主要涉及6个物理量：概率分布函数、概率密度函数、数学期望、方差、自相关函数、自协方差函数等，主要探讨随机信号的一个或几个随机变量的统计规律，所求得的这些物理量是确知信号，不再是随机的，物理量中的t1、t2、t3、…反映的是随机变量所在的时刻。

3.3统计独立、不相关、正交

数学期望和方差反映了单一随机变量各自的均值与偏离均值的程度，并没能反映随机变量间的关系，在随机信号的分析中，经常需要考虑：（1）单个随机信号两个或多个随机变量之间的关系；（2）判断两个或多个随机信号之间的关系。因而，常涉及统计独立、不相关、正交等基本概念。在（2）问题中，随机信号之间的关系根据3.1节的讨论可知，最终考查的仍然是两个或多个随机信号的随机变量之间的关系。

从定义上讲，统计独立反映随机现象的规律性相互独立，具体地，指随机信号n个随机变量的n维分布函数或n维概率密度函数相互独立，其联合分布函数或概率密度函数等于这n个随机变量各自一维分布函数或一维概率密度函数的乘积；一个或多个随机信号的随机变量间的“相关性”反映的是随机变量的波动方式是否一致，不相关指随机信号的随机变量间的波动不存在一致性，常用互相关函数或互协方差函数来衡量，不相关的互相关函数等于这两个时刻随机变量各自数学期望的乘积，或互协方差函数为0。而两随机信号正交指随机信号的互相关函数为零。

随机信号分析中，常探讨多维随机变量的线性相关性问题，除从定义的角度说明相关性外，借助随机变量的相关系数理解随机变量间的相关程度更加直接[6]。为此，将问题简化，探讨两个随机变量X，Y是否满足线性关系：Y=mX+n；m，n为常数。为此，探讨如何选择m，n可使mX+n与Y最接近？

由式（4），ρXY表征了随机变量X、Y之间线性关系紧密程度，当|ρXY|较大时，X、Y之间的线性相关程度较好；当|ρXY|较小时，X、Y之间的线性相关程度较差；当|ρXY|=0，X、Y之间不相关。

随机变量的线性相关关系是一种概率意义下的关系，主要是由于随机变量任意时刻取值是随机的，每一个值是随机变量集内以一定概率出现的值，因此，在XOY平面内，由随机变量X、Y所对应的点应为一个随机点（X，Y）[7]。基于此，随机变量X、Y之间线性关系实质是随机点（X，Y）在平面XOY内的散点分布在直线Y=mX+n附近。从分布的趋势看，它们与直线Y=mX+n形状相似，相似程度由ρXY确定。

由上述讨论，不相关的充要条件：（1）|ρXY|=0；（2）Cov（X、Y）=0；（3）E（X、Y）=E（X）E（Y）。

以上3个条件等价，随机变量间不相关并不意味它们正交，只是它们没有线性关系，但很可能存在其它函数关系。

统计独立、不相关、正交三者之间的关系：（1）随机信号若统计独立则一定不相关，但不相关不一定统计独立，当且仅当高斯随机信号时，统计独立与不相关等价。从统计角度看，保持统计独立的条件要比不相关还要严格；（2）随机信号的不相关与正交之间无必然联系。不相关的随机信号，至少其中有一个随机变量的期望为0时，随机变量才互相正交。反之，正交的随机信号，当且仅当至少其中之一随机变量的期望为0时，才不相关，见图3。

3.4功率谱密度函数的认识

随机信号的功率谱密度主要是由于随机信号是功率信号，其平均功率是一有限值。因此，功率谱密度是针对随机信号的随机变量而言，对于平稳随机信号而言，随机信号的自相关函数与其功率谱密度之间是一对傅里叶变换对的关系，因而，随机信号的功率谱密度是其自相关函数的频谱。

4结束语

本文结合先修课程《信号与系统》，类比了《随机信号分析》与《信号与系统》课程的体系结构、分析方法，从两个不同角度讨论了两门课程中信号的系统分析方法与思想。由于两门课程研究对象不一样，因此，信号分析中两门课程采用不同的分析方法。同时，线性、时不变性的系统的分析思想在这两门课程中是一致的。文章最后对课程中几个基本概念进行了讨论。通过类比分析，便于学生尽快掌握《随机信号分析》课程的体系结构和主要研究内容，有助于学生对本课程的基本概念和基本理论理解和掌握，为后续课程的学习打下扎实的基础。

参考文献

[1] 李晓峰，周宁，傅志中，等.随机信号分析（第4版）[M].北京：电子工业出版社，2011.

[2] 王永德，王军.随机信号分析基础（第3版）[M].北京：电子工业出版社，2009.

[3] 张文明，罗鹏飞，谢晓霞，等.“随机信号分析与处理”案例式教学研究[J].电气电子教学学报，2013，35（5）：6365.

[4] 夏平，向学军，吉培荣.基于MATLAB的信号与系统、数字信号处理实验体系教学实践[J].电气电子教学学报，2004，26（5）：7374+99.

[5] 周宁，李晓峰，傅志中. “随机信号分析”课程研究型教学[J].电气电子教学学报，2014，36（2）：6063.

[6] 霍凯凰.多维随机变量线性相关性分析[J].太原师范学院学报（自然科学版），2010，9（1）：5457.

[7] 李锋，仲伟波.《随机信号分析与处理》课程案例式教学实践探索[J].教育教学论坛，2012（17）：148149.Teaching practice of Random Signal Analysis course

based on analogy method

Xia Ping，Gong Guoqiang，Qin Qin，Sun Shuifa

（College of Computer and Information Technology，Three Gorges University，Yichang，Hubei443002，China）

AbstractRandom signal analysis course mainly focuses on the signal analysis of random signal，and the influence of the random signal after through the linear time invariant system （LTI）.The course of signal and system is discussed in the system analysis of the known signals.In the process of teaching，comparing the contents of these two courses by analogy analysis，exploring the similarities and differences between the two courses research object and the analysis method ，which is conductive to enhance the students′ abilities to correctly understand and master the basic concepts，theory，and architecture of the course.Simultaneously，it helps students to lay a solid foundation for the study of the communication principle course.

Key wordsrandom signal analysis；signals and systems；analogy method；teaching practice