完美运用向量简化计算

平面向量由于融数、形于一体，具有几何与代数的“双重身份”，因而成为高中数学中衔接代数与几何的纽带，是数形结合的典范。向量法在高中数学解题中有着广泛的应用，它是中学数学知识的一个交汇点和联系其他知识点的桥梁，运用平面向量可以大大拓宽解题的思路。

在平面解析几何中，我们经常会运用韦达定理等设而不求的方法来简化计算，若能充分利用平面向量这一工具可以更大程度地简化计算。本文以一个平面解析几何问题的解决为例来说明平面向量在平面解析几何中简化计算的应用。

问题：已知圆C：（x-3）+（y-4）=4，直线l过定点A（1，0），且与圆C交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，l与l：x+2y+2=0的交点为N，判断AM・AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。

常规解题思路：

设出PQ的直线方程，联列方程组求出P，Q，N点的坐标，可求出点M的坐标，求出AM，AN的长度，计算AM・AN并化简。

具体解题过程：

当PQ的斜率不存在时，PQ的直线方程为x=1，与圆C相切，不符合条件。

所以PQ的斜率存在，设为k，则PQ的直线方程为y=k（x-1）。

由y=k（x-1）（x-3）+（y-4）=4得（k+1）x-（2k+8k+6）x+k+8k+21=0，

Δ=（2k+8k+6）-4（k+1）（k+8k+21）＞0，

由韦达定理可得PQ中点M坐标，。

由y=k（x-1）x+2y+2=0得点N坐标，，

所以（AM・AN）=-1++-1+。

通过复杂的计算化简可得：（AM・AN）=36，所以AM・AN为定值6。

从上面的解题过程可以感觉到计算的繁琐，要想化简正确，对于大多数学生来说实在困难。若我们采用向量就可以简化很多。

A，M，N三点共线，，共线，方向相反，

AM・AN=-・。

AM・AN=-・=-，・，

=・+・

=+=6。

通过向量数量积来解决可以避免运用复杂的距离公式和难以把握的化简计算。再考虑一下，是不是可以连坐标都不计算？

从图中可以看出，=+，而与垂直，

AM・AN=-（+）・=-・

=-（2，4）・，

=+=6。

由此，也不用求M点的坐标。那么是不是N的点坐标也不用求？

k=-，k=2，

ACl。

设直线l与x轴交于点R（-2，0），

则=+，

AM・AN=-（+）・

=-・（+）=-・

=-（2，4）・（-3，0）=6。

通过充分利用向量，我们将一个复杂的计算转化成了一个纯粹的向量运算，而且是利用一些已有的点，从而不用设直线方程，更不用求点，真正做到了不设也不求。此问题的解决，不能不说是完美运用向量这个工具的典范。因此，在解析几何中充分运用向量，会取得意想不到的效果。

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