应树立数形结合思想

摘 要： 数学中的很多概念都有一定的几何意义，本文作者根据教学实践认为要树立学生数形结合的思想，就要善于挖掘数学概念的几何意义；要注意培养学生看见函数式立即想到它的图像，结合实际图像记性质、用性质的好习惯；数形要结合，关键在于能根据函数式（或方程）画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。

关键词： 数形结合思想 数学概念 几何意义 基本图像 应用

所谓数形结合思想，就是根据已知条件，作出或构造出相应的图形或图像，通过对图形或图像的分析来解决问题的方法。著名数学家华罗庚先生说得好：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”华老亲切而风趣地告诫我们不要“得意忘形”。要提高学生分析问题和解决问题的能力，教师就要重视数形结合思想的培养，有意识地对学生进行数形结合的训练。我在多年的数学教学中对数形结合思想教学作了一些尝试，在此将体会介绍如下。

一、从低年级起就要重视数学概念的几何意义的教学

数学中的很多概念都有一定的几何意义，要培养学生数形结合的思想，就要善于挖掘数学概念的几何，如：在学习绝对值的概念时，教材对绝对值的几何意义作了如下描述：“一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离。”如果教师此时能有意识地重视讲清：“|x|在数轴上表示数所对应的点到原点的距离，而|x-a|表示数x与a对应的两点间距离。”那么对于绝对值不等式：1＜|3x+4|≤6，便可以用图解如下：

图（1）

不等式1＜|3x+4|≤6与不等式＜x+≤2为同解不等式，

由x+的几何意义便知式子＜x+≤2中的在数轴上对应的点到点-的距离应大于且不大于2。（如图（1）中画有阴影线的部分）

认真讲述数学概念的几何意义，沟通数与形的本质联系，不仅可以深化学生对数学概念的理解，而且为提高学生解决问题的能力开辟了新途径。所以从低年级起就要重视数学概念的几何意义的教学，持之以恒，将会有极大的收益。

二、重视数学的的基本图像在代数、三角上的应用

如果说坐标系是数与形结合的纽带，那么函数图像则是数的直观形象的反映。在数学教学中教师要注意培养学生看见函数式立即想到它的图像，养成结合实际图像记性质、用性质的好习惯。初中三年级，学生学习了一元二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图像和性质，到了中专一年级上学期，在讲授不等式ax+bx+c＞0（或＜0）的解法时，便可以集“求根公式法”、“图像法”之长而引出较为简单直观的“数形结合法”解一元二次不等式。

例1：解不等式≥x。

分析：令y=，y=x，

画出函数y，y的图像，

y的曲线是以C（-2，0）为圆心，以3为半径的上半圆，y的曲线是Ⅰ，Ⅲ两个象限角的平分线（如图（2））。

图（2）

当y=y时有一个交点，即=x=，

则由图观察y≥y可知其解集为x-5≤x≤。

例2：方程sinx=lgx的实数根的个数是（）。

A.1B.2C.3D.大于3

图（3）

分析：如图（3），在同一直角坐标系内分别画出函数y=sinx和y=lgx的图像，由于y=lgx=lg10=1，那么y=lgx中的x≈3π。显然知两个函数曲线相交有三个交点，故选C。

上述例子解题步骤少，效率极高。据统计，数学教学的习题教学约占总教学时数的70%，因此习题教学的成败在很大程度上决定了数学教学效果的高低，教学怎样体现出智能、情趣是很关键。爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”数学客观存在的美感，在数与形的结合上表现得十分完美。它的特点是直观形象、简捷明快、不易错。教师在数学教学活动中，要充分运用一些材料，引导学生领略数学的美，使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探讨的欲望。例如：在数与形的关系别引人注目的著名的“黄金分割率”，它被世人称之为和谐性的最完美的表现。“0.618”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神。在日常生活中，人们习惯用“黄金分割”――审美的观念看世界。在绘画和建筑艺术中，如《最后的晚餐》、埃菲尔铁塔等都包含了“黄金率”，所以它们才有经久不衰的魅力。

三、要善于挖掘代数式的几何意义

数形要结合，关键在于能根据函数式（或方程）画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。数学的很多公式、定理都具有一定的几何意义，教师要引导学生深刻分析这些公式、定理与几何图形的内在的本质的联系，从而寻求解决问题的有效方法。

例如代数式，如果不引导学生与直线的斜率公式k=相联系进行比较，那么就很少有学生会将代数式看成是点（x，y）与点（-2，-1）连线的斜率，也就挖掘不出代数式的几何意义。当学生对代数式的几何意义有了理解，那么下面的问题也就不难找到解的方法了。

例3：已知x+=1，求代数式的最大值和最小值。

分析：由已知得x+=1的曲线是椭圆，

将代数式变形为，

便可将其看成两点（x，y）与（-2，-1）的连线斜率。

不妨设斜率k=，

过点（-2，-1）斜率为k的直线方程为y+1=k（x+2）。

由图（4）形看出：

只有直线y+1=k（x+2）与椭圆x+=1相切时，k值才会达到最大或最小。

要使直线与椭圆相切，只须方程组y+1=k（x+2）x+=1有唯一组解。利用根的判别式不难求解为k=。即代数式的最大值为，最小值为。

总之，数学中的很多概念、法则、公式、定理都与一定的空间形式密切联系，曲线与方程、区域与不等式、函数与图像、三角函数与单位圆中的三角函数线，复数与向量都有内在的联系，而数形结合则是具体与抽象、感知与思维的结合，是发展形象思维与抽象思维并使之相互转化的有力“杠杆”。教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，使学生变“学会”为“会学”，提高学生的数学素养，从而在数学教学中真正实现素质教育。

参考文献：

［1］罗增儒.中学数学思想方法的教学.中学数学教学参考，2000，（6）.

［2］惠州人.形与数关系的应用.中学生数学报，1999，（10）.

［3］周春红.全国成人高考丛书数学文科.函数，三角两章.北京邮电大学出版社，2002.

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