利用“人船模型” 巧解“相对运动”

“相对运动”一直是同学们倍感棘手的问题，由于它不易理解，老师讲起来也颇不顺手；这让老师和同学们很不好把握，且高考中时有出现，被称为“球”。我在动量与能量的复习过程中总结出一套利用同学们熟知的“人船模型”解相对运动问题的方法，实战效果特好，愿与大家共勉。

一、“人船模型”

如图：船浮于平静的水面上，人站在船的右端，人、船质量分别为ｍ、Ｍ，船长为Ｌ，不计水的阻力。二者水平方向动量守恒易于理解。若人以速度V1向左行走，则船以速度V2向右后退，数值上必有mv1=Mv2

于是有■=■ ①

记人船位移分别为S1、S2，人船动能分别为EK1、EK2 则

有■=■ ②

有■=■ ③

三者规律一致，易于理解，过目不忘

尽管相对运动不易理解，但有一个事实人人都有感受：坐在速度是V甲的车中看迎面开来的速度是V乙的汽车，其速度为（V甲+V乙）

若人相对船的速度记为u，则u=V1+V2

■ ④

若人相对船的位移记为S，则S=S1+S2=L

结合②式有■ ⑤

不难理解人船的动能EK1、EK2均来自于人做的功W

结合③式有■ ⑥

三者规律再次一致，读者刻骨铭心

二、巧解相对运动

例1　光滑水平面上一平板车质量为M=50 kg，上面站着质量m=70 kg的人，共同以速度V0匀速前进，现人相对车以速度u=2 m/s向后跑，问人跑动后车的速度改变了多少？

分析：此题与上面的“人船模型”不同的地方是人车原来以速度v0匀速前进，也应注意到所要求回答的问题是车速改变了多少，而不是变为多少。解决此题只需另选原来与车同向等速运动的其它物体为参照系，这样就和“人船模型”完全相同了，因为在“任何惯性参照系中力学规律均相同”，这是基本原理。

解：考虑到任何惯性参照系中力学规律均相同，人若相对车往后跑，则车速必增加Δv，据“人船模型”④式有：Δv=■u=1.17 m/s

例2　一人站在静止于光滑平直轨道的平板车上，人和车的总质量为M，现在让这人双手各握一个质量为m的铅球，以两种方式顺着轨道方向水平投出铅球，第一次是一个一个地投；第二次是两个一起投，设每次投掷时铅球相对车的速度相同，则两种方式投掷铅球后小车速度之比为（ ）

A．■

B.■

C.1：1

D.■

分析：设铅球被掷出时相对小车的速度u

第一次先后掷出，据“人船模型”④式，掷出第1个球时车获得速度v=■u

因为掷出第2个球车速又增加了Δv=■u

最后车速可表示为v1=v+Δv=■u

第二次同时掷出两球后，同理，车可获得速度v2=■u

然后让V1、V2相比，可判断选项A正确。

例3　质量为M的小车静止在光滑水平面上，其上有一段光滑曲面，末端水平。如图，小车被挡板挡住，质量为m的球从距地面高H处自由下落，从曲面末端射出，落地点距车右端距离S0；若撤去挡扳，球仍从原处自由下落，求其射出后的落地点与车右端距离S为多少？

分析：第一次车被挡住，重力势能全部转化为m的动能，使其以速度V0射出做平抛运动；第二次同样多的重力势能转化为m、M二者的动能，使它们分开时分别有速度v1、v2，二者间存在相对运动，只需解出（v1+v2）是v0的多少倍，此题即告破，因为两次平抛运动的时间相等。

解：第一次车被挡，设m射出速度为v0，飞行时间为t，则S0=V0t

第二次车自由，设m射出速度为v1，车后退速度为v2

据“人船模型”⑥式可知m分得动能

■v12=■·■v０2

v1=■·v0

又由mv1＝Mv２

v２＝■v1＝■■·v0

最后s=■·s0=■·s0

同学们，读过此文有收获吗？