三视图问题的求解误区

以三视图为背景，考查立体几何基础知识及空间想象能力是高考的热点，也是我省近几年选择题与填空题中的常态题.然而，三视图问题看似常规，有时候却极易出错.

由直观图转换到三视图的误区

（1） 忽视观察的方位

例1 [2012年绍兴市高三教学质量调测卷（理科）第7题] 某几何体的正视图如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

错解： 选A.

错因分析： 未考虑到当几何体上部分为球、下部分为圆柱时，A即为该几何体的俯视图.错解认为D有可能是该几何体的俯视图，则是因为忽视了观察方位，没有考虑到俯视图是在几何体的正前方从上向下观察产生的.

正解： 由错因分析可知A正确. 当几何体上部分为横置的圆柱（圆柱的底面垂直纸面向外和向内）、下部分为正四棱柱时，B正确. 当几何体上部分为球、下部分为正四棱柱时，C正确.如果D正确，则其正视图中的正方形中间应该有一条竖直的实线，这与题目所给的正视图不符，所以D不可能是该几何体的俯视图.

点评： 在观察几何体时，正视图，要从几何体正前方往后观察；侧视图，要从几何体左侧向右观察；俯视图，则要在几何体的正前方从上向下观察. 在这里要特别强调俯视图的观察位置，因为这是很容易被忽视的.

（2）忽视线的“虚实”

例2 [2012年高考数学陕西卷（文科）第8题] 将正方体（如图2所示）截去两个三棱锥，得到如图3所示的几何体，则该几何体的侧视图为

错解： 选C.

错因分析： 从左向右观察几何体时，错解没有注意到B1C是被挡住的一条线段，认为它在侧视图中应画成实线，导致侧视图出错.

正解： 从左向右观察几何体时，AD1是看得见的一条线段，所以画成实线.线段B1C由于被挡住，所以是虚线，故选B.

点评： 为了真实准确地反映物体的形状，使视图具有前后层次感，我们规定：看得见的线画成实线，被其他部分遮挡而看不到的线画成虚线.在例2中，由于从左向右观察时，线段B1C被其他部分挡住，所以应该画成虚线.

由三视图还原到几何体的误区

（1） 尺寸还原“张冠李戴”

例3 图4是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图4所示，则该几何体的侧面积为

（A） 6 （B） 12

（C） 24 （D） 3

错解： 从三视图中易得该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边长为，所以S侧=3××4=12.选B.

错因分析： 尺寸还原时发生错误，误将作为底面三角形的边长.

正解： 由三视图可得该几何体为正三棱柱，侧视图的高为该正三棱柱的高，侧视图的宽等于俯视图正三角形的高，所以正三角形边长为=2，S侧=3×2×4=24.选C.

点评： 在将三视图还原到几何体的过程中，很容易发生尺寸位置关系弄错的情况.所以一定要抓住“长对正，高平齐，宽相等”的基本特征，对应各个位置的尺寸关系，防止出错.

（2） 形状还原错误

例4 [2011年金华数学十校联考（理科）第13题（改编）] 一个几何体的三视图（单位：cm）如图5所示，则该几何体的表面积为 cm2.

错解： 由三视图可得，该几何体上部分为半径r=1的半球，下部分为圆柱，所以S表=・4πr2+2・2πr+πr2.由r=1可得S表=7π.

错因分析： 俯视图判断错误，导致三视图还原失真.

正解： 由正视图和侧视图可初步推测，该几何体的上下两部分分别是球与长方体或球与圆柱.再根据俯视图左侧有两个直角的特点，可判断出该几何体的直观图如图6所示：下部分是长方体ABCD-A′B′C′D′与半圆柱OO′，上部分是半球O′.所以S表=2SABB′A′+SADD′A′+SABCD+S半圆柱侧+S半球+SA′B′C′D′=4+4+2+2π+2π+2=12+4π.

点评： 在将三视图还原成几何体或直观图的过程中，我们可以先看俯视图进行猜测，如与矩形有关的一般可联想到四棱柱、四棱锥、棱台或躺倒的圆柱，与圆有关的可联想到圆柱、圆锥、圆台或球，与三角形有关的可联想到三棱柱、三棱锥或圆锥等，然后再结合正视图和侧视图，进一步分析几何体的形状特点.