立体几何解答题的突破与模型化教学

问题的提出

立体几何有六大问题：角、距离、平行、垂直、面积、体积，其中求角和距离是一个难点。纵观近年高考数学试题，可以看出，立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分，难度属容易或中档题。学生得分率较高，但失分率也高。因此，我认为有必要将堆积如山的立几题目进行梳理，提出一个解决问题的基本方法。下面我就针对几道题目的解题突破和各位交流一下。

立体几何模型与题型

立体几何中的模型

模型是解决问题的基础，对于立体几何问题首先我们要会画出相应的立体图形，或对于给出的题目能够识别模型。立体几何中的常见模型有：柱体模型（正方体模型，长方体模型，圆柱体模型）；锥体模型（三棱锥，四棱锥等）；球体模型等。每个模型都可以对应出一套完整的知识体系，例如：正方体模型延伸出的题目会涉及到线线、线面、面面平行判断（性质）定理；线线、线面、面面垂直判断（性质）定理；柱体，椎体等的表面积和体积公式。总的来说，所有的立体几何模型可分为可建系模型和不可建系模型。

立体几何中的题型

立体几何模型加上一定的已知条件和求证结论就构成了一道具体的习题，因此，一个模型可以变化出许许多多的习题。求解立体几何习题的一般方法可以归纳为识别模型，分析题目中的已知条件，以及已知条件与要求证的结论之间的关系，结合相应的（判断或性质）定理与相关知识解决问题，即公理化解题方法。

这道题目是以三棱锥模型为依托延伸出的，且属于不可建系模型，对于考生来说很难完全解决这类问题，通常情况下只能解决问题中的第一问，面对这样的题目我们有必要找一个基本的方法来帮助学生解题。

解题的突破

对于立体几何问题我们有一些常用的处理方法，但是在一些方法的运用中，还存在着一些学生很难把握的难点，比如：用判定定理证明线面平行时如何选取平面内的那条直线？用判定定理证明面面垂直时，如何选取垂直于平面的那条直线？用向量法求二面角时，如何判定向量的夹角与二面角相等还是互补？等等。这些难点成为学生解决此类问题的瓶颈.作为教师来讲，如果能在这些方面做一些工作，帮助学生解决好这些问题，在教学效果上将起到事半功倍的作用.以下我就结合以上摘录的有关立体几何高考题的探讨，和各位交流一下心得.一般而言，向量法解决问题时，容易着手，但写坐标时必须细心谨慎。而传统解法要求我们要学会作辅助线以及对线面垂直、面面垂直、线线垂直、三垂线定理等要非常有研究。不论如何，高考立体几何一般都可以传统法和向量法两种方式来解决。

可建系模型，利用向量运算

使用“形到形”的综合推理方法学习立体几何，由于空间图形的复杂性，一般没有规律可寻，对多数学生都是比较困难的。但向量运算体系与算术、代数运算体系基本相似，学生就可运用他们熟悉的代数方法进行推理，来掌握空间图形的性质。学生在高一已学习了平面向量，只要稍加推广就可得到空间向量运算体系，使用空间向量处理立体几何问题，使对它的研讨达到有效能算的水平，这样做不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具反而会降低学习的难度，减轻学生的负担。

凡是题目中有共点的三条两两互相垂直的边，或已知两边（相交）垂直能够经过交点添加辅助线构造出三条两两互相垂直的边的立体几何题，建议尽量通过建立空间直角坐标系，采用空间向量的知识解决问题。对于学生来说，寻找并证明线面关系要比解决向量运算难得多。

此题的模型为正方体，显然是个可建系模型，所以可以采用空间向量解决问题。借助方向向量的夹角公式得异面直线所成的角，借助直线的方向向量与平面的法向量的夹角得出线面角，借助两平面的法向量的夹角得出二面角。虽然文科教材内容未要求学习空间向量，但教学中我们会发现文科生更偏爱于采用空间向量解决立体几何问题的证明与计算。因此，适当的补充是值得的。

不可建系模型，寻求解题技巧

空间向量是解决立体几何问题的一个非常有力的工具，但这并不意味着传统方法可以摈弃，空间向量毕竟有它的局限性。所以学生学习立体几何的基本要求、空间想象能力的培养是不能降低的。平面的基本性质、空间线面平行垂直的各个性质都是研究立体几何的重要基础，空间概念的建立、空间想象能力、逻辑思维能力的培养也是由此开始并逐渐得到发展，而且也是空间向量学习的基础。所以我们在教学中要把几何综合推理和向量代数运算推理有机地结合起来，为多角度的展开解题思路提供广阔的空间，不能有所偏废。

用公理化方法解决立体几何问题，通常都必须添加辅助线，并且要经过各种手段进行转化，它具有较大的灵活性，学生掌握起来比较困难。但是传统方法有它的优越性，一旦空间的位置关系搞清楚了，计算量较小，正确率高。因此在日常训练中，就应该引导学生养成良好的思维习惯，从多个角度思考问题，不能让思维陷入模式化的僵局。在处理具体问题时，要采取实事求是的态度。采用传统方法解题解决近几年的高考问题是有技巧可循的。

解题技巧：巧做辅助线，巧借中点效应

解立体几何题“得辅助线者得天下”。此话说得虽有点过头，但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键。那么，辅助线该如何添加呢？这里我先介绍一段口诀：“有了中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。”下面以两个实例来说明此口诀的实用与精妙之处。

结束语

每位考生在高考之前做过的题目是很多很多的，但是并未达到相应的效果。如果我们要求学生死记硬背这些题目或是将所有解题技巧一一比较之后再选择采用哪种解法来解决问题，那学生真是太累了，只会达到事倍功半的效果，甚至更差。做题不是目的，而是手段，通过做题我总结出一些对我今后教学的启发：学习新课程理念，自觉落实课程改革就要求我们在教学中，要认真体会、落实新课程理念，尤其应该忠实于“课标”和“新教材”，杜绝“穿新鞋走老路的”的现象，勇于开拓创新。在立体几何教学过程中多关注一下宁夏、海南的高考试题，作为借鉴。从宁夏、海南的高考试卷来看高考对立体几何考查的变化趋势对我们的学生是有利的，如果我们帮助学生掌握正确的解决立体几何问题的方法，就会达到很好的效果。在学生平时做题的效果来看，他们很容易犯的错误是审题不清，看不清题目中的已知条件，如果我们在教学中要求学生先看清基本模型（能否建系），再找出本题特有的已知条件（注意中点，垂面），这样学生的错误就会大大减少。在教学中注重模型化教学，将空间向量和传统方法相结合，齐头并进，有助于提高学生对空间概念的建立；提高空间想象能力、逻辑思维能力，为学生学习立体几何减负。