基于误差反馈的变步长LMS自适应滤波算法

摘 要： 对变步长LMS滤波算法进行研究，提出一种新的变步长LMS自适应滤波算法。该算法基于Sigmoid函数，通过引入误差因子反馈来调整函数参数，解决了类Sigmoid函数中参数设置的问题，并使算法具有较快的收敛速度和较小的稳态误差。计算机仿真表明，相对于其他变步长算法，该算法在收敛速度和稳态误差方面均表现优异，具有较好适用性。

关键词： lms算法； 自适应滤波； 收敛速度； 稳态误差

中图分类号： TN713?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2013）11?0057?03

0 引 言

LMS（Least mean square）自适应滤波算法[1]由Widrow和Hoffman提出，该算法计算简单、稳定性好、易于实现，被广泛应用在控制、雷达、系统辨识等领域。但是这种固定步长的LMS算法在收敛速率和稳态误差之间的要求是相互矛盾的，而且该算法在处理相关信号时，其收敛速度显著下降。

经典的LMS算法的局限在于其固定步长无法兼顾收敛速度和稳态误差。为了解决这一问题，人们在此基础上提出了各种各样的变步长LMS滤波算法。其核心思想都是用变步长代替固定步长，使算法在大的误差范围内具有快速的收敛性，在小的误差范围内具有较小的失调量。文献[2]提出了变步长参数正比于误差的算法，其性能有所提升，但并不理想。文献[3]给出了一种称为S函数的变步长LMS算法（SVLMS），该算法的步长调整策略有一定的先进性，但该算法在误差接近零时步长变化剧烈，可能导致稳态误差增大。文献[4]在文献[3]的基础上做了进一步的改进，修正了步长在误差接近零时变化剧烈的问题，但算法中的关键参数需要通过实验手工设置，而参数设置不当将严重影响算法的性能。文献[5?6]则分别基于其舌线、双曲正切函数和反正切函数提出了相应的变步长LMS算法，在一定程度上缓解了收敛速度和稳态误差之间的矛盾。文献[7]提出了基于变换域的LMS滤波算法，变换域的LMS算法能够提高运算速度，但收敛速度和稳态误差之间的矛盾并没有解决。

可见目前的研究大多集中在变步长策略。变步长策略的实质是找到误差和步长之间的一个对应关系，此对应关系能自动调节函数的收敛速度和稳态误差。本文在文献[4]的基础上提出基于Sigmoid函数的EFLMS（Error Feedback Least Mean Square）算法。该算法利用反馈的思想，通过在参数中引入误差因子，解决Sigmoid函数参数设置的问题，使算法在收敛速度和稳态误差等性能指标上均有所改善，同时算法具有广泛的适应性。

1 相关工作

变步长LMS滤波算法的实质是通过误差自适应的调节步长，即在误差较大的收敛阶段用较大的步长以提高收敛的速度，在误差较小的稳态阶段用较小的步长以获得较小的误差。其核心思想是用误差来反馈调节步长，也就是找到误差和调节步长之间的函数关系，使算法在稳态误差和收敛速度上找到一个好的平衡。

文献[4]提出了一种基于Sigmoid函数的变步长滤波算法。该算法的Sigmoid函数相对简单，而且在误差接近零处变化不大，具有缓慢变化的特征。其算法设计如下：

[e（n）=d（n）-XT（n）W（n）] （1）

[μ（n）=β[1-exp（-α|e（n）|2）]] （2）

[W（n+1）=W（n）+2μ（n）e（n）X（n）] （3）

算法的核心是公式（2）。通过式（2）建立起误差[e（n）]和步长[μ（n）]之间的对应关系，当误差大时步长变大，收敛速度提高；当误差逐渐变小时，调整步长变小，算法趋于稳态。式（2）中[α]和[β]是常数，其中[α>0]，其控制函数的形状和收敛速度，参数[β>0]控制函数的取值范围。其中参数[α]是影响算法性能的关键之一，其取值的大小将直接影响算法的收敛速度和稳态误差值。

但是文献[4]中并没有就参数的取值提出明确的设置方法，而是采用实验的方法确定参数的最优值。而参数设置不当将严重影响算法的性能，同时也使算法的适用性受到了一定的限制。

本文提出的EFLMS算法基于Sigmoid函数，通过在参数中引入误差因子解决了函数参数设置的问题。下面介绍EFLMS算法。

2 算法描述

EFLMS算法基于文献[4]提出的变步长策略，并在其基础上做了进一步的改进，通过在参数中引入误差反馈实现参数自动调整。

算法中设计步长和误差的函数如下：

[μ（n）=β（n）?[1-exp（-α（n）?e（n）2）]] （4）

其中：

[α（n）=[e（n）/e（n-1）]2] （5）

[β（n）=（1-b0）?β（n-1）+b0?[e（n）/e（n-1）]2-1] （6）

式中：参数[α（n）]控制算法步长变化的形状和速度，而[β（n）]控制函数的取值范围。式中的常数[b0]用于调整取值范围以满足算法收敛。

两个参数[α（n）]和[β（n）]都是误差比值[e（n）e（n-1）]的函数。当[e（n）e（n-1）]的比值较大时，说明误差变化较大，算法还处在收敛阶段，那么这时相应的参数[α（n）]对应较大的值，这时对应得到的步长[μ（n）]较大，算法的收敛速度加快。随着误差[e（n）e（n-1）]比值的逐渐变小，这时[α（n）]变小使步长[μ（n）]变小，算法趋于稳态。在参数[β（n）]中，当[e（n）e（n-1）]比值较大时，说明误差变化较大，算法处在收敛阶段，这时[β（n）]较大，相应此时步长[μ（n）]变大，算法收敛加快；当[e（n）e（n-1）]比值逐渐变小，这时[β（n）]变小使步长[μ（n）]变小，算法趋于稳态。当极限时[e（n）e（n-1）～1]，此时[β（n）=（1-b0）β（n-1）]，保证了系统不会出现不稳定的情况。

下面在Matlab仿真平台上对EFLMS算法进行仿真实现，验证算法的性能。

3 仿真分析

自适应滤波算法的性能指标主要有收敛速度和稳态误差，为此对算法的步长和误差进行仿真实验。这里主要对文献[4]中的自适应算法和EFLMS算法进行仿真，以验证EFLMS算法的性能。

仿真设置如下：自适应滤波器阶数为20，输入信号为单频正弦波，参考的输入信号为零均值、方差为1的高斯白噪声，采样点数为900。其中文献[4]中的参数[α=0.5]，[β=0.01]。而EFLMS中的参数设置如下：式（5）中的[k=2]，式（6）中的[b0=0.02]。

3.1 步长变化仿真

算法的调整步长是误差的函数，步长的变化反映了算法的运行情况。优秀算法步长应该是在收敛阶段较大，使系统具有较快的收敛速度；达到稳态阶段较小，以使系统获得较小的误差。所以步长的变化规律在一定程度上反映了算法的合理性。

文献[4]的算法中步长随迭代次数的变化曲线如图1所示，是EFLMS算法的步长变化曲线如图2所示。图中横坐标是迭代次数，纵坐标是算法的调整步长。

可以看到，两种算法的步长都随着迭代次数的增大而减小，达到一定的迭代次数之后趋于稳定。图1中，其步长在迭代160次左右时趋于稳定，而图2中步长在迭代60次左右就趋于稳定。可见EFLMS算法的步长调整策略更加合理，其收敛速度显著优于文献[4]的算法。这是因为EFLMS算法自适应特性更强，其对参数设置的依赖程度更小，其步长调整更合理。

3.2 误差仿真

误差反映了算法的输出信号和原信号之间的差别，达到最小误差所用的迭代次数越少，说明算法的收敛速度越快，最小误差值越小说明算法的精度越高，滤波效果越好。所以误差值的在一定程度上反映了算法的性能。

图3和图4分别是文献[4]和EFLMS算法的误差变化曲线图。随着迭代次数的增加，两个算法的误差都逐渐变小，小到一定程度之后都趋于稳定，此时系统也趋于稳定。

图3中所示算法的误差在迭代160次左右达到稳定，图4中的算法在迭代60次左右误差达到稳定，显然图4的算法达到稳定误差所需的次数更少，收敛速度更快，而且在系统稳定之后的误差也更小，对信号的滤波效果更好。这是因为EFLMS算法能根据误差的变化自适应调整步长的能力更强，在收敛阶段误差较大时其步长较大，所以其收敛速度很快；而在误差变小之后调整步长更小，使系统获得更高的精度。

可见，EFLMS算法的性能优异，无论在收敛速度还是在稳态误差上均优于文献[4]的算法。

4 结 语

本文提出一种基于Sigmoid函数的变步长LMS自适应滤波算法——EFLMS算法。该算法通过引入误差因子来调节参数，解决了Sigmoid函数参数需要手工设置的问题，使算法的步长调整策略更合理。在仿真平台上对算法进行验证，仿真结果表明，相对文献[4]滤波算法，EFLMS算法在收敛速度更快，精度更高，验证了算法的可行性和优越性。

参考文献

[1] WIDROW B， STEARNS S D. Adaptive signal processing [M]. Englewood Cliffs， NJ： Prentice Hall， 1985.

[2] YASUKAWA H， SHIMADA S， FURUKRAWA I， et al. Acuoustic echo canceller with high speech quality [C]// IEEE ICASSP. [S.l.]： IEEE， 1987： 2125?2128.

[3] 覃景繁，欧阳景正.一种新的变步长LMS自适应滤波算法[J].数据采集与处理，1997，12（3）：171?174.

[4] 高鹰，谢胜利.一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].电子学报，2001，29（8）：1094?1097.

[5] 邓江波，侯新国，吴正国.箕舌线的变步长LMS自适应算法[J].数据采集与处理，2004，19（3）：282?285.

[6] 郑莎莎.智能天线变步长最小均方算法的研究与仿真[D].长春：吉林大学，2007.

[7] BEAUFAYS F， WIDROW B. Transform?domain adaptive filters： an analytical approach [J]. IEEE Transaction on Signal Processing， 1995， 43（2）： 442?431.