比大小中的“壮汉”与“小孩”

我们一起来看一道题：

已知a＞b＞c，求证：1a-b+1b-c+1c-a＞0．

一开始，大多数同学都是先去分母，化分式不等式为整式不等式，再加以证明，这样做很繁琐，甚至有不少同学证不出来.

后来，有同学给出如下证明：因为a＞b＞c，所以0＜a-b＜a-c． 所以1a-b＞1a-c，即1a-b+1c-a＞0． 而1b-c＞0，从而有1a-b+1b-c+1c-a＞0．

此解法一出，立刻引起了大家的欢呼，太精彩了！现在的问题是，他是怎么想到的呢？

得此证法的同学给出了如下生活化、趣味化的解释：甲、乙二人正闲聊得起劲，突然有一人来无理取闹. 怎么办？常见的应对方法是：甲、乙二人中先由一人去应付，如能“单挑”成功，则问题解决，继续闲聊；如不行，则二人一齐上.

此解释逗得同学们捧腹大笑，但笑过之后再细细体会，的确是那么个理.

如甲、乙二人是两个壮汉，来的是一个小孩子，此时正闲聊得起劲的甲、乙二人联手去对付一个弱小的孩子，岂不让人笑掉大牙？在解题过程中，已知条件中明明给出或可推出谁是“壮汉”、谁是“小孩”，仍盲目地要“壮汉”抱成团去对付“小孩”的现象时有发生. 盲目地要“壮汉”抱成团有时不仅没有必要，而且会导致解题的失败. 本例的通分的想法即是如此.

1a-b+1b-c+1c-a＞01a-b+1b-c＞1a-c． 在a＞b＞c的条件下，1a-b与1b-c明显地比1a-c大，1a-b与1b-c可以看成“壮汉”，1a-c可以看成是“小孩”.

能否辨明题目中的“壮汉”与“小孩”，不仅有助于降低解题的繁琐程度，而且有助于寻找解题方向. 例如，已知a＞0，曲线y=x3-a3在点x=x1（x1＞0）处的切线为l，l与x轴的交点为（x2，0），求证：x2≥a ．

写出l的方程，不难求得x2=2x31+a33x21，x2-a=2x31+a3-3ax213x21，下面如何去证明分子不小于0，是本题获证的关键. 2x31+a3-3ax21≥02x31+a3≥3ax21． 由于x1与a的大小不定，因而2x31，a3，3ax21的前两项中的任一项是否比第三项大也就无法确定，不能用前两项中的一项去和第三项比大小. 此时就要两人抱成团，一齐上，或把第三者一分为二，各个击破. 仔细观察分子的特点，发现分子有因子x1-a，从而2x31+a3-3ax21=（x1-a）2（2x1+a）≥0．

在证明不等式、比大小的过程中，能否判明谁是“壮汉”、谁是“小孩”，常常是至关重要的.