电流激励蔡氏电路混沌的解析预测

摘 要:考虑到蔡氏电路受周围电路的影响,故将受周围影响的蔡氏电路做了等效处理,并将其等效为电流激励蔡氏电路。这里首次用解析的方法对三阶非线性微分方程能够产生混沌的参数范围进行预测,利用该方法得出电流激励蔡氏电路产生混沌的必要参数条件。通过数值仿真证明了该等效电路具有极其丰富的混沌动力学行为,仿真结果与解析预测结果有较好的吻合性。

关键词:电流激励; 蔡氏电路; 三阶非线性微分方程; 解析预测; 混沌现象

中图分类号:TN911文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)08-0116-03

Analytical Method to Predict Chaos on Current Driven Chua′s Circuit

LI Bang-yan, GAO Yong-yi

(College of Physics, Hu’nan University of Science and Technology, Xiangtan411201, China)

Abstract:Chua′s circuit model is proposed by taking into account impact of the surrounding circuits on Chua′s circuit. The scope of the chaotic parameters produced by the third-order nonlinear differential equations is predicted with the analytical method for the first time, and a required range of parameters for current driven Chua′s circuit to produce chaos is deduced bythis method. Simulated phase diagrams show this circuit has a very rich dynamics of chaotic behavior, the simulation results and analytically predicted results are in good coincidence.

Keywords:current driven; Chua′s circuit; third-order nonlinear diflerential equation analytical prediction; chaotic phenomenon

0 引 言

由于电子电路易于实验室搭建,易于测量与显示,易于建模与仿真,因而已逐渐成为混沌现象及其应用研究的重要途径。诸多学者通过电子电路模型对混沌现象进行了深入的研究[1-4]。蔡氏电路是1983年华裔科学家蔡少棠教授首次提出的,它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路,也是非线性电路中产生复杂动力学行为的最有效且较为简单的混沌电路之一。

目前一些学者正在对蔡氏电路中各种变形产生的混沌现象进行研究[5-9],但主要集中在更改原电路中非线性元件使之产生混沌,或者添加新元件使其产生超混沌的研究上,而研究周围电路对蔡氏电路所产生影响的情况很少。到现在为止,研究该电路及其变形电路混沌行为的方法大都是数值方法、实验方法以及Pspice仿真的方法,没有见到用解析的方法研究该混沌电路的。本文在考虑周围电路对蔡氏电路影响的同时,首次用解析法预测了电流激励下蔡氏电路的混沌行为,具有一定的理论和实际意义。

1 电流激励蔡氏电路状态方程的建立

电流激励蔡氏电路由电容C1,C2、电感L、电阻R,RN和电流源is组成,如图1所示。

图1 电流激励蔡氏电路

图1中RN为非线性电阻。根据基尔霍夫电流定律和电压定律,该电路的状态方程为:

ИdvC1dt=1RC1(vC1-vC2)-1C1f(vC1)+1C1is

dvC2dt=1RC2(vC1-vC2)+1C2iL

dildt=-1LvC2 (1)И

式中:vC1,vC2为C1,C2的电压;iL为L的电流;f(vC1)是非线性电阻的伏安特性函数。设激励电流is=Fcos Ωt,令x=vC1,y=vC2,z=RiL,t=RC2τ,α=C2/C1,β=R2C2L, fC=RC2FC1,ω=RC2Ω。г蚴(1)可化为:

И=α\+fCcos ωt

=x-y+z

=-βy(2)И

式中,非线性电阻用三次方多项式的形式[10],Ъ:f(x)=mx+nx3。

2 混沌的解析预测

设系统(2)的一次谐波解为:

Иz=acos ωt+bsin ωt(3)

当系统(2)为弱非线性系统时,a和b为慢变参数,通过平均法可得到:

=12(-αm+ω2-β)a+12(-αω+αβω-αmω+αβmω-ω)b-

3αβn8ω\ω3β3+ωβ(ω2β-1)2\〗a(a2+b2)-3αβn8ω\ω2β-1)3+ω2β2(ω2β-1)\〗b(a2+b2)

=-12(-αω+αβω-αmω+αβmω-ω)a+12(-αm+ω2-β)b+

3αβn8ω\ω2β-1)3+ω2β2(ω2β-1)\〗a(a2+b2)-3αβn8ω\ω3β3+ωβ(ω2β-1)2\〗b(a2+b2)-βfC2ω(4)И

为了简化表达式,设:

Иk1=(1/2)(-αm+ω2-β)(5)

k3=3αβn8ω\ω3β3+ωβ(ω2β-1)2\〗(7)И

Иk2=12(-αω+αβ/ω-αmω+αβm/ω-ω)(6)

k4=3αβn8ω\ω2β-1)3+ω2β2(ω2β-1)\〗(8)

对式(4)进行代换并在[0,T]内进行积分,利用a和bЩ郝变化性质有:

Иa(T)-a(0)=2πω[k1a+k2b-k3a(a2+b2)-k4b(a2+b2)]

b(T)-b(0)=2πω[k2a+k1b+k4a(a2+b2)-k3b(a2+b2)-βfC2ω] (9)

设式(4)的平衡点为(a0,b0),则有:

Иk1a0+k2b0-k3a0(a20+b20)-k4b0(a20+b20)=0

-k2a0+k1b0+k4a0(a20+b20)-k3b0(a20+b20)-βfC2ω=0(10)

将式(9)中等号右边的式子在点(a0,b0)附近做泰勒展开,并利用式(10)有:

Иa(T)-a(0)=2πω[A11a(0)+A12b(0)+U(a(0),b(0))]

b(T)-b(0)=2πω[A21a(0)+A22b(0)+V(a(0),b(0))](11)И

式中:

ИA11=k1-k3(3a20+b20)-k42a0b0(12)

A12=k2-2k3a0b0-k4(a20+3b20)(13)

A21=-k2+k4(3a20+b20)-2k3a0b0(14)

A22=k1-k3(a20+3b20)+2k4a0b0(15)И

U(a(0),b(0)),V(a(0),b(0))为a(0),b(0)的高阶项。

在点(a0,b0)附近,式(11)的高阶项可忽略不计,则:

a(T)

b(T)=2πωA11+12πωA12

2πωA212πωA22+1a(0)b(0)(16)

显然式(16)是系统(2)在周期解附近的庞加莱映射:

ИP\=TP\(17)И

比较式(16)与式(17)可知:

ИT=2πωA11+12πωA12

2πωA212πωA22+1(18)И

设T的特征值为λ,则:

И(2πωA11+1-λ)(2πωA22+1-λ)-(2πω)2

A12A21=0(19)

由非线性动力学理论知,当Е霜1

ИA11A12

A21A22

将A11,A12,A21,A22Т入式(20)化简后得:

Иk21+k22-4(k1k3+k2k4)(a20+b20)+3(k23+k24)(a20+b20)2

令r0=a20+b20,tan θ0=b0/a0,Т入式(10)、式(21)化简后有:

И(k1r0-k3r30)2+(k2r0-k4r30)2=βfC2ω

k21+k22-4(k1k3+k2k4)r20+3(k23+k24)r40

式(22)是系统出现混沌时Е,β,m,n,ω,fC必须满足的参数条件。式中:k1,k2,k3,k4,r0为α,β,m,n,ω,fC的函数。取参数α=9,β=100/7,m=-8/7,n=2/7,用Matlab画出1≤ω≤3,系统产生混沌时,fC与ωУ脑市矸段如图2所示。

图2 混沌解析预测结果

3 仿真结果

取参数Е=9,β=100/7,m=-8/7,n=2/7,当fC与ω取不同值时,用Matlab对系统(2)进行仿真时,有图3的结果,数值仿真结果与混沌解析预测的结果有较好的吻合性。

图3 ω,fC不同时系统的相图

4 结 语

通过分析电流激励蔡氏电路中一次谐波解的庞加莱映射,预测出蔡氏电路在余弦电流激励下能够产生混沌的必要参数条件。仿真结果与解析预测结果有较好的吻合性。

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