等差数列的前n项和说课稿

1 教材分析

1.1教材的地位和作用

数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型．高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列．本节课的教学内容是等差数列的前n项和公式及其简单应用．它与前面学过的等差数列的定义、通项公式、性质有着密切的联系；同时，又为后面学习等比数列前n项和、数列求和等内容做好准备．因此，本节课既是本章的重点也是教材的重点．

1.2 教学目标

知识与技能目标：掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题．

过程与方法目标：让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，掌握倒序相加的方法．

情感与态度价值观：使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推理能力．

1.3 教学重点、难点

重点：等差数列的前n项和公式．

难点：等差数列的前n项和公式的推导．关键通过具体的例子发现一般规律．

2 教法分析

数学是一门培养和发展思维的重要学科，因此在教学中要以学生为本，遵循学生的认知规律，展现获取知识和方法的思维过程．在教学中采用以问题驱动，层层铺垫，由特殊到一般的方法启发学生获得公式的推导思路，并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用．整个教学过程分成问题呈现、探索与发现、应用公式三个阶段．

3 学法分析

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系．在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力．

4 教学过程

4.1 创设情境，提出问题

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一．陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝．传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图1），奢靡之程度，可见一斑．你知道这个

图案一共花了多少宝石吗？

图1

设计意图：・源于历史，富有人文气息.激发学习兴趣.

・图中算数，形象直观，启迪思路

4．2 启发引导，探索发现

问题1：1+2+3+…+100=？

由学生答出结果：1+100=101,2+99=101,3+98=101,…50+51=101，

于是，所求和是101×1002=5050．

学生大都听过数学家高斯小学时的故事，对这个问题很熟悉，因此很快利用高斯首尾配对的方法得出结果．但是学生对高斯首尾配对的算法可能只处于简单的记忆模仿阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，接着提出下面问题．

问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

即 1+2+3+…+21=?

这是求奇数个项求和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要启发学生观察中间项11与首、尾两项1和21的和它们之间的关系．通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇数个项、偶数个项两种情况求和．进而提出有没有更简单的方法？如图2

图2

设计意图：借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形,获得算法：

S21=(1+21)×212

问题3：求1到n的正整数之和，

即1+2+3+…+n=?

因为 sn=1+2+3+…+(n－1)+n

sn=n+(n－1)+(n－2)+…+2+1, 所以 2sn=(1+n)+(1+n)+…+(1+n)n

所以 sn=n(n+1)2．

设计意图：从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对”算法的改进，为下面推导等差数列前ｎ项和作好必要的知识铺垫．

说明：设计以上三个问题情境来引入课题主要是从以下两个方面考虑：

（1） 几何图形的直观性能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观性学习和理解数学，是数学学习中的重要方面．在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想．

（2） 采用由特殊到一般的研究方法.从学生熟悉的知识背景出发,让学生在具体的问题情境中,经历知识的形成和发展,充分体现了新课标“以人为本”,强调“以学生发展为核心”的原则.

4．3 类比联想，解决问题

设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+a3+…+an，如何求Sn呢？

由于有了前面的知识准备，学生完全可以自己推导出等差数列的前ｎ项和公式，教师板书过程即可．学生可能出现的方法有

方法1：因为 Sn=a1+a2+a3+…+an,

Sn=a1+a2+a3+…+an,

所以 2Sn=(a1+an)+(a2+an－1)+(a3+an－2)+…+(an+a1)=n(a1+an).

所以 Sn=n(a1+an)2.

方法2：因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+［a1+(n-1)d］,

Sn=an+(an－d)+(an－2d)+…+［an－(n－1)d］,所以 Sn=n(a1+an)2.

教师最后强调这两种方法都是正确的，它们的本质是相同的，并且把这种求和的方法称为“倒序相加法”．它是在今后解决与等差数列相关的数列求和问题的常用方法应熟练掌握．

设计意图：学生类比联想前面方法，水到渠成的推导出等差数列的前n项和公式，学生经历公式的推导过程，获得了发现的成就感，优化了思维品质，体会了数形结合的数学思想，体验了从特殊到一般的研究方法．教师板书过程规范解题格式，让学生掌握倒序相加法．

4.4 总结公式，进行记忆

对于等差数列的前n项和公式要求学生不仅要记住内容，还需熟练运用公式解决简单的等差数列求和问题．可以类比梯形的面积公式数形结合进行记忆．

公式一：Sn=n(a1+an)2，如图3.

图3

公式二：Sn=na1+n(n－1)d2，如图4.

图4

设计意图：借助几何图形的直观性，让学生进一步体会倒序相加法的合理性．利用数形结合思想，使新知识与学生原有的认知结构建立起实质的联系，促进新的认知结构形成，从而更牢固地记忆掌握公式．

4.5 变式训练，深化认识

例1 为备战2008年奥运会，“世界飞人”刘翔的主教练孙海平制定了今年8月1日至7日的训练计划：每天的训练量（110米栏训练次数）如下表：

日期1日2日3日4日5日6日7日

训练量20222426283032

试求刘翔七天的训练量的总和．

设计意图：这是一道根据课本例题改编的应用题目，以刘翔为例，以2008奥运会为背景，可以充分激发学生的学习兴趣，调动学习的主动性，体现在数学生活中的广泛性．同时本题给了许多数据信息，既可以利用公式一，也可以利用公式二．通过两种方法的比较，引导学生根据已知条件灵活选用公式，便于计算．

例2 已知等差数列－10,－6,－2,2,…

(1) 前多少项的和是54？

(2) 用n表示前n项和Sn?

设计意图：问题一主要练习公式的逆用，方程思想“知三求一”．问题二通过Sn与n的关系式加强学生对公式的进一步认识，等差数列的前n项和Sn可以看成是项数n的函数，深化了学生对第二章函数的认识，从而启发学生从函数的观点来研究等差数列前n项和的最值、单调性、对称性等问题，为下一节课的教学打下伏笔．

4．6 课堂小结，布置作业

小结：回顾从特殊到一般的研究方法，倒序相加法求和及数形结合，函数与方程的数学思想；掌握等差数列的前n项和公式及简单应用．

课后作业：必做题： 课本118页练习1、2、3

选作题：已知等差数列{an}中，a2+a5+a12+a15=36,求S16.

设计意图：为了使课堂知识条理化、系统化，同时培养学生的总结概括能力，教师引导学生从思想方法和知识内容两方面进行小结．根据我校的特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题、解决问题的能力，将课后作业分为必做题和选做题，达到分层教学的目的．

5 教学评价

数学教学应努力做到：

以简驭繁，平实近人，返璞归真，循循善诱，引人入胜．

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