构造等差数列求数列的通项公式

【中图分类号】G633.6

题记：

数列通项公式给出了数列中第n项与项数n之间的函数关系。求数列通项公式是数列中的基本问题，也是高考考查的重点和热点内容之一；掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，培养学生对知识的横向联系，促进学生对知识的掌握。其中构造等差数列求数列的通项公式 是近几年高考的又一热点，本文就如何通过构造等差数列求数列的通项公式做一归纳总结以飨读者，以期对大家在数列的学习中有一定的帮助。

一. 倒数变换 ：

例 1。 在数列中，，求数列的通项公式。

解：等式两边取倒数得，令，则，数列为等差数列，公差为，又，，

例2、已知数列中，求数列通项公式。

解：当时有，

则是以为首项，1为公差的等差数列。

又，故为所求的通项公式。

例3、已知数列的前项和，且满足，求 数列的通项公式。

解：当时有，，

，，

则是以为首项，2为公差的等差数列。

，

又，故为所求的通项公式。

归纳：形如通过倒数变换构造等差数列去求通项公式。

〖试一试〗1、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。

二. 平方（开方）变换

例4. 若数列{}中，=2且（n），求数列 的通项公式。

解 将两边平方整理得。数列{}是以 =4为首项，3为公差的等差数列。。 因为>0，所以。

例5.（2013年高考广东卷）设各项均为正数的数列的前项和为 ， 满足且构成等比数列.

（1） 证明：；

（2） 求数列的通项公式；

（3） 证明：对一切正整数，有.

（1）证明：当时，，

（2）解：当时，，

， 当时，是公差的等差数列.

构成等比数列，，，解得，

由（1）可知，

是首项，公差的等差数列.

数列的通项公式为.

（3） 略

三.分式变换

例6.（2000年全国）已知是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式

解：原递推式可化为：

=0 >0， ，=1 ，是以1为首项的常数列

即=.

【试一试】

2、已知中：，（）求数列 的通项公式。

【答案】；

3.已知函数，数列的前项和记为，点 在曲线上，且 ，

（1） 求数列的通项公式。

（2）数列的首项=1，前n项和记为，且 ，求数列的通项公式.

略解：（1）由已知得，从而

（2）由已知得，从而，进而 得

注：此题两次构造了等差数列。

归纳：形如通过分式变换构造等差数列去求通项公式。

四. 指数变换

例7.【2008全国】在数列中，，.

（Ⅰ）设.证明：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

解：（Ⅰ）由已知，得.

又，因此是首项为1，公差为1的等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即.

，

两边乘以2，得，

两式相减得

.

例8.设数列的前n项和，求数列的通项公式。

解：由得

当n=1时， =2；

当n≥2时，即得即 是以1为首项，1为公差的等差数列，=n，带入已知条件得 ，

归纳：形如通过指数变换构造等差数列去求通项公式。

〖试一试〗

4。（2009年全国卷改编）在数列中， .

设，求数列的通项公式； （）

求数列的前n项和。 （ ）

5. （2009湖北卷理）

已知数列的前n项和（n为正整数）。

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

解析：（I）在中，令n=1，可得，即

当时，，

.

. .

又数列是首项和公差均为1的等差数列.

于是.

（II）由（I）得，所以

由①-②得

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由 可猜想当证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设n=k+1时

所以当时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时

五. 换元变换.

例9。已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求数列的通项公式。

解 由得：

当n≥3时，

令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。

由于

又

所以，即

归纳：形如通过换元变换构造等差数列去求通项公式。

〖试一试〗6.已知数列满足，求数列的通项.

解略：

以上各题都是针对如何构造等差数列求通项公式而言的，其它方法未涉及，请读者自己思考别的解题方法。数列通项公式的求法虽然多种多样，但是在具体求解时，仍要由题设条件确定各种求数列通项公式的方法，灵活应用，才能以不变应万变，获得满意的解题效果。

为数列的学习打下扎实的基础。文中有不妥之处敬请批评指正，谢谢！