两个计数原理在解题中的应用

分类计数原理与分步计数原理这两个关于计数的基本原理是在人们大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决有关排列、组合应用问题的始终.对于这两个计数原理，教学中很多教师都着重强调在解题时要注意弄清楚是分类还是分步，如何分类或分步，它们的区别或联系是什么等.但部分学生在运用原理解题时经常找不到头绪，思维混乱，乱写一气.原因在于对原理理解不透，掌握概念不到位.如果能从思考原理中的“完成一件事”指的是什么这一角度出发，往往可以很快找到解题思路.

例1 4名同学分别参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队，不同报名方法的种数是34还是43？

部分学生对先34还是43犹豫不决，认为两个都有道理.他们认为若以球队为主线思考，足球队可招来4人中的1人、2人、3人、4人，共4种不同报名方法，同样，另两个队也分别有4种报名方法，所以共有4×4×4=43种.

其实以上解题理由不充分，因为足球队也可以没招到4人中的任何一个，不同的报名方法不是4种而是5种.若足球队招来了这4人，则篮球队、乒乓球队只有没人报这一种可能……这种“分步”头绪繁杂，容易出现遗漏或重复.这是因为步骤间互相制约，没有明确怎样的招法才算是一种结果.

解决问题时应紧扣两个原理的定义：“完成一件事……共有N种不同的方法.”关键是弄清楚“完成一件事”指的是什么？在这里，“4名同学都报名完毕”就算“完成一件事”.所以，很自然地可以以同学为主线思考：第一名同学有3种不同选择，同样第二名、第三名、第四名同学也有3种不同选择，方法种数为3×3×3×3=34种.

诚然，教学中可按以上两种主线慢慢分析、展示用分类加分步的方法来解题的具体过程，使学生真正理解两个计数原理在解题中的应用.但强调从“看看完成一件事指的是什么”这个角度来思考问题，可以快速地弄清题意，得到正确解法.在教材后继章节排列、组合、概率的学习中，从这个角度解题对保持头脑清醒仍然有效.

例2 从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？

可见，把握计数原理的本质，要计算完成一件事的方法总数，先弄清楚“完成一件事”指的是什么，可使我们很快地找到解题思路.定义中看似平平常常的一句话，它的作用是不容忽视的.它提醒我们，在概念教学中必须咬文嚼字，使学生真正理解定义的含义并能运用到解题中.