求最短路径问题的策略与方法

摘 要：求最短路径问题是历年数学中考中的常见题型，常在中档题和压轴题中出现。2015年全国各地中考数学试题中，此类问题更是呈现形式多样，考法丰富多彩，较好地考查了学生综合运用数学知识灵活解决问题的能力。求最短路径问题常常以求两条线段之和最小值的形式出现，以基本事实“两点之间线段最短”建立的具体数学模型，是解决最短路径问题的依据。探寻解题策略、寻找转化方法是解决此类问题的关键。具体解决问题时的通性通法是：定点移位；获得等线；运用模型，化二为一；根据题设，求出结果。基本事实“两点之间线段最短”，简洁明了，浅显易懂，简单结论之中蕴含着大智慧。因此，我们的教学应该做到“知其事，明其理，用其魂”。

关键词：基本事实；数学模型；策略方法；转化

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）36-0053-06

求最短路径问题是历年数学中考中的常见题型，在选择、填空和解答题中均有体现，其灵活多变的考查形式，较易与其他知识融合的显著特点，受到许多命题者的青睐。

在中考数学试题中，求最短路径问题常常以求两条线段之和最小值的形式出现，并以特殊三角形、特殊四边形和函数图象等初中数学中的核心知识为载体，以考查学生灵活运用转化、化归等数学思想方法为目的，通过操作探究、推理论证、灵活求解的方式来解决问题。此类问题的解决是以基本事实“两点之间线段最短”为依据，以探寻转化方法为核心，实现对学生综合运用数学知识解决问题能力的全面考查。此类题目充满了探究性和思辨性，常常在中档题和压轴题中出现。

如何利用基本事实“两点之间线段最短”，解决最短路径问题呢？

一、建立数学模型

基本事实“两点之间线段最短”，从宏观上说明了“两点之间的所有连线中，线段最短。”在解决问题时，此基本事实常常以下面的具体模型呈现：

数学模型：如图1，已知点A、点B在直线l 的两侧，点P是直线l上的一个动点，连接AB、PA、PB，则有PA+PB≥AB。

根据“两点之间线段最短”这一基本事实可知：PA+PB≥AB，即当点P与AB和直线l的交点O重合时，PA+PB=OA+OB的值最小，最小值即为线段AB的长。因此，在求两条动线段之和的最小值时，我们只要能够将两条线段转化为一条线上的一个动点到两个定点（在这条线的两侧）的两条线段之和的形式，就可以直接应用这个数学模型来解决问题。

二、应用数学模型

结合2015年全国各地中考数学试卷中，有关求最短路径问题的部分题目，探究解决此类问题的具体策略与方法。

（一）单动点类问题

单动点类问题是指一个点在一条直线上运动，求它到两个定点距离之和的最小值问题。在此类中考数学试题中，给出的两个定点常常是在已知直线的同侧。解决此类问题，常用的方法是：将其中的一个定点转移到动点所在直线的另一侧，使其满足动点到该定点和转移后的点之间的距离相等，这样就可运用这个数学模型，将求两条线段之和的最小值问题，转化为求一条线段长度的问题。

通性通法：（1）定点移位：根据轴对称的性质，过其中一个定点作线段，使动点所在的直线是所作线段的垂直平分线；（2）获得等线：根据线段垂直平分线的性质定理，动点到所作线段两端点的距离相等；（3）运用模型，化二为一：根据基本事实的具体数学模型，连接另一定点和所作线段的新端点，所得线段的长即为所求两条线段之和的最小值；（4）根据题设，求出结果。

1.特殊三角形为背景

【原题再现】例1（2015・四川攀枝花第15题）：如图2，在边长为 2 的等边 ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE+DE 的最小值为 。

【探究方法】本题属于直接求两条线段之和的最小值问题，且两定点B、D在动点E所在线段AC的同侧，因此，可分两大步骤解决问题：（1）转化：因为点B是等边 ABC的一个顶点，AC是点B的对边，根据等腰三角形的性质（三线合一），过点B作BOAC，垂足为O，延长BO到点B′，使OB′=BO，则有AC和BB′互相垂直平分，连接EB′，则有B′E=BE；连接DB′，则线段DB′的长即为BE+DE 的最小值（如图3）。（2）求值：如图3，过点D作DGAC，垂足为G，设DB′交AC于点F，则有RtDFG ∽RtB′FO，易得，OB′=BO=■×2=■， OG=■OC=■AC=■，DG=■BO=■OB′。根据相似三角形的性质，得■=■=■，所以OF=2GF=■OG=■，在R B′FO中，FB′=■=■■，所以DF=■FB′=■■，故DB′=■。

【思维拓展】（1）如果将点D转移到直线AC的另一侧，应如何作出所求的线段并求得结果呢？（2）你能直接求出DB′的长度吗？试试看。（事实上，过点B′作B′HBC，交BC的延长线于点H，构造出Rt B′DH，解此直角三角形即可。）

2.特殊四边形为载体

（1）正方形

【原题再现】例2（2015・贵州安顺第17题）：如图4，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 。

【探究方法】（1）转化：因为正方形是关于对角线所在直线对称的轴对称图形，所以作点E关于对角线AC所在直线的对称点E ′，点E ′落在BC的对应线段CD上，连接E ′F，则E ′F即为所求。（如图5）。（2）求值：如图5，过点F作FGCD，垂足为G，易得，DE′=BE=1，DG=AF=2，FG=AD=4，所以在RtFGE′ 中，GE′=DG-DE′=1，根据勾股定理，得E′F=■。

【思维拓展】（1）如果将题目中的条件“F为AB上的一点，AF=2”改为“F为边AB上的一点，且F点到边AB端点的距离为1”时，其他内容不变，结果又如何呢？

（2）矩形

【原题再现】例3（2015・湖北孝感第16题）如图6，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2。对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G。

有如下结论：

① ∠ABN=60°； ②AM=1；

③■； ④BMG是等边三角形；

⑤P为线段BM上一动点， H是BN的中点，则PN+PH的最小值是■。

其中正确结论的序号是 。

【探究方法】在本题所给的五条结论中，我们重点对结论⑤进行探究。在①中，连接AN（如图7），易得ABN为等边三角形，所以∠ABN=60°，故①正确；在②中，易求出AM=■，所以②不正确；在③中，易得BN是MG的垂直平分线，QN是MBG的中位线，所以BG=BM，QN=■，所以③不正确；在④中，易得∠BMG=60°，BG=BM，所以BMG是等边三角形，故④正确；在⑤中，由于定点H，N在折痕BM的同侧，动点P在BM上，所以应先“转移定点”。因为H，E两点是等边ABN两边的中点，因此H，E两点关于折痕BM对称，连接PE（如图7），则有PE=PH，根据基本事实的具体数学模型，当点P与点Q重合时，PN+PH取得最小值，即线段NE的长就是PN+PH的最小值；其次求值。因为NE是边长为2的等边ABN边AB上的高，所以PN+PH的最小值为2×■=■，故⑤正确。所以本题答案是①，④，⑤。

【思维拓展】如果将结论⑤改为“P为线段GM上一动点，H是BN的中点，则PQ+PH的最小值是■。”结论⑤还正确吗？（提示：不正确，此时PQ+PH的最小值是■。）

3.函数图象为依托

（1）抛物线

同抛物线相结合的最短路径问题，常常是综合类试题中所考查的部分内容，一般情况下，双定点选取抛物线与坐标轴的交点，动点在抛物线的对称轴上。

【原题再现】例5（2015・广西柳州第26题）如图8，已知抛物线y=-■（x2-7x+6）的顶点为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C。

（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；

（3）以AB为直径作N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是N的切线。

【探究方法】重点探究解决（2）的策略和方法。（1）y=-■（x-■）2+■，M（■，■）；（2）A，C两定点是抛物线与坐标轴的交点，且在对称轴x=■的左侧，动点R在对称轴上。①转化：根据抛物线的对称性，A点关于直线x=■对称点是B点，连接BC（如图9），由基本事实的具体数学模型可知，BC与对称轴的交点即为R，连接AR，此时CR+AR的值最小，其最小值为线段BC的长。②求值：根据抛物线的解析式，求出点A、B、C的坐标，易得A（1，0），B（6，0），C（0，-3）。在RtOBC 中，根据勾股定理，求出BC=■=■=3■；再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=■x-3，当x=■时，y=-■，所以点R的坐标为（■，-■）。（3）略。

（2）双曲线

同双曲线相结合的最短路径问题，也常常是综合类试题中所考查的部分内容，一般情况下，双定点在双曲线上，动点在坐标轴上。

【原题再现】例6（2015・四川成都第19题）如图10，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=■（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点。

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及PAB的面积.

【探究方法】（1）y=■，B（3，1）。（2）A，B两点是在x轴上方双曲线上的两个定点，动点P在x轴上。①转化：作点B关于x轴的对称点B′（如图11），得到B′（3，-1），连接AB′，由基本事实的具体数学模型可知，AB′与x轴的交点即为点P，连接PB，此时PA+PB=AB′，其值最小。②求值：易得直线AB′的解析式为y=-2x+5：，当y=0时，得x=■，所以，满足条件的点P的坐标为（■，0）。设y=-x+4交x轴于点C，则C（4，0），所以，SPAB=SAPC-SBPC=■。

【思维拓展】如果将（2）中“在x轴上找一点P”改为“在y轴上找一点P”，其他内容不变，应如何求解呢？（答案：B（0，■），SPAB=■。）

（二）双动点类问题

双动点类问题是指两条线段各有一个端点或一条线段的两个端点分别在两条线上运动，求两条线段之和的最小值问题。虽然此类中考数学试题，仍然需要运用上面的数学模型来解决，但是，转化到数学模型的过程需要学生具备扎实的数学基本功，以及灵活运用数学知识解决问题的能力和一定的创新意识。

1.两条线段各有一个端点在不同线上运动

【原题再现】例7（2015・天津第15题）在每个小正方形的边长为1的网格中。点A，B，C，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF。

（1）如图12-1，当BE=■时，计算AE+AF的值等于 。

（2）当AE+AF取得最小值时，请在如图12-2所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何是找到的（不要求证明） 。

【探究方法】（1）根据直角三角形的性质，易得AE+AF=■。（2）为解决问题（Ⅱ），我们先来探究：去掉（Ⅱ）中的格点背景，如何用尺规作图的方法画出线段AE和AF。

如图13，在矩形ABCD中，点E、F分别为BC、DB上的动点，且BE=DF。当AE+AF取得最小值时，用尺规作图画出线段AE和AF。

① 画线段AE。如图13，延长DC到点D ′，使CD′=DC，连接BD′，则有∠CBD ′=∠CBD=∠ADB。以点B为圆心，DA长为半径画弧，交BD′于P点，即BP=DA。连接AP，则AP与BC的交点即为AE+AF取得最小值时点E的位置。理由：当点E在BC边上的不同位置时（分别连接AE和PE），因为BE=DF，所以BEP≌DFA，所以PE=AF恒成立，这就实现了将两个动点重合，两个定点分别在动点所在直线两侧的目的，因此，根据基本事实的具体数学模型，当点E与AP、BC的交点重合时，AE+AF取得最小值。

② 画线段AF。如图13，在射线DC上截取DQ=DA，过Q点作QRDQ，在射线QR上截取QR=AB，连接DR，在DR上截取DG=AB，连接AG，则AG与DB的交点即为AE+AF取得最小值时点F的位置。请你尝试说明理由。

下面解决原题中的（Ⅱ）。如图14，取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N，连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求。

【思维拓展】结合在无格点背景下，用尺规作图找E、F两点的方法，请你说明在图14中，确定点E和点F的方法是正确的。

2.一条线段的两个端点在不同线上运动

【原题再现】例8（2015・湖北黄石第25题）如图15-1和图15-2，已知双曲线y=■（x>0），直线l1：y-■=k（x-■）（k

（1） 若k=-1，求OAB的面积S；

（2） 若AB=■■，求k的值；

（3）设N（0，2■），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取最小值时P点的坐标。

（参考公式：在平面直角坐标之中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB=■）

【探究方法】（1）S=2■；（2）k=-2或k=-■。（3）P点在双曲线上，M、N两点在双曲线的同侧。① 转化：l1：y-■=k（x-■）（k

【思维拓展】本题属于变式运用基本事实的具体数学模型。事实上，在基本事实的具体数学模型中，无论条件怎样给出，只要能够将具有公共动端点的两条线段，转化成动点到动点所在线两侧两个定点距离之和的形式，均可使用这个具体数学模型，来解决与两条线段之和距离最短的相关问题。

三、教学建议

基本事实“两点之间线段最短”，简洁明了，浅显易懂，简单结论之中蕴含着大智慧。因此，我们的教学应该做到“知其事，明其理，用其魂”。

知其事：在初中阶段的图形与几何中，“两点之间线段最短”是我们首先要学习的基本事实之一。联系生活实际，结合简单图形，学生较易获得这一基本事实。

明其理：要真正理解这一基本事实，需要师生一起结合具体实例来完成。如，证明“三角形两边之和大于第三边”就有助于加深对这个基本事实的理解，其中教师的教学方式（引导学生用其所知，解己所惑）却起着至关重要的作用！

用其魂：灵活运用这一基本事实解决具体问题，教材在“轴对称”中给出了求两条线段之和最小值问题的范例，不管是哪个版本的教材，其范例原型均与“将军饮马”问题有关。因此，在具体教学时，不妨用“将军饮马”问题导入，既具有较好的趣味性，又能紧扣主题，突出重点。

教学时要让学生亲身经历从实际问题抽象出数学问题的过程，并尝试建立与这一基本事实的联系。教师要为学习困难的学生搭建“桥梁”，助其领会基本事实的内涵和掌握解决具体问题的策略与方法。

总之，掌握运用基本事实解决求两条线段之和的最小值问题的策略和方法，还必须结合恰当的具体教学内容，及时渗透，经常运用。例如，在进行特殊三角形、特殊四边形、函数和圆的有关知识的教学时，要不失时机地添加相关内容，要将运用这一基本事实解决具体问题常态化、系列化，并及时归纳提升。特别是在初三复习时，不仅要在每个专题中适时渗透，同时还要进行专题训练，确保实现学生对此类问题的真正理解和掌握。