关于闭区间套定理条件及其应用

【摘要】闭区间套定理是实分析中的一个重要定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、单调有界定理、柯西收敛准则一样都反映了实数的完备性，本文对闭区间套定理的条件借助闭区间套定理有良好的构造性，因而使闭区间套定理有了更进一步广泛的应用.

【关键词】闭区间套定理；条件；等价命题；二等分法

引言闭区间套定理本身是由一个闭区间套{In}确定的唯一的点ξ∈∩∞1n=1In.粗略地说，如果一切In都具有某种共同性质P，则由于ξ的任意性有In（n≥k），所以ξ的局部具有性质P，简单地说这个定理可以把整体性质收缩到局部——某点的邻域，利用闭区间套定理证明问题时要注意这一点.闭区间套定理的几何意义：有一列闭线段（两个端点也属于此线段）后者被包含在前者之中，并且由这些闭线段的长构成的数列以0为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点.

一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理

定义1设闭区间列{（an，bn）}具有如下的性质：①{（an，bn）}[an+1，bn+1]，n=1，2， …；

②lim（bn-an）=0，则称{（an，bn）}为闭区间套，或简称区间套.

定理（1）（闭区间套定理）若{（an，bn）}是一个区间套，则在实数系中存在唯一点ξ，使得ξ∈（an，bn），n=1，2， …，即an≤ξ≤bn，n=1，2， …，且limn∞an=limn∞bn=ξ.

闭区间套定理成立的条件：一般来说将闭区间换成开区间列，区间套不一定成立.

例如，开区间列0，11n显然满足：1）（0，1）0，112…0，11n…；2）limn∞11n-0=0，但是不存在数l属于任意一个开区间.

二、举例说明闭区间套定理的应用

1.与闭区间套定理等价的五个定理

①聚点定理：实轴上任意有界无限点集S至少有一个聚点.

②有限覆盖定理：设H为闭区间[a，b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a，b].

③确界原理：设S为非空数集，若S有上（下）界，则有S上（下）确界.

④单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.

⑤柯西收敛准则：数列{an}收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在正整数N，使得当m，n>N有an-am

2.利用闭区间套定理证明以上五个定理中的两个定理

（1）用闭区间套定理证明聚点定理

证明S为有界点集，故存在M>0，使得S[-M，M]，记[a1，b1]=[-M，M].

现将[a1，b1]等分为两个区间.因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间，为[a2，b2]，则[a1，b1][a2，b2]且 b2-a2=112（b1-a1）=M.

将[a2，b2]等分为两个区间.则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为[a3，b3]，则[a2，b2][a3，b3]，且b3-a3=112（b2-a2）=112M.

将此等分子区间的连续无限地进行下去，得到一个闭区间列{（an，bn）}，满足{[an，bn]}[an+1，bn+1]，n=1，2，…，bn-an=M12n-1（n∞）.即{（an，bn）}是闭区间套，且其中每一个区间都含有S中无穷多个点.由闭区间套定理，存在唯一的一点ξ∈（an，bn），对任给的ε>0，存在N>0，当n>N时有an，bn∨（ξ，ε），从而∨ξ，ε内含有S中无穷多个点，ξ为S的一个聚点.

（2）用闭区间套定理证明柯西收敛准则的充分性

证明对ε>0，N>0，使得m，n≥N时，有am-an≤ε.取m=N，又对任给的ε>0，当N>0，使得对n≥N，有am-an≤ε，即在区间 aN-ε，aN+ε内含有{an}中几乎所有的项.令ε=112，则存在N1，在区间[aN-112，aN+1+112]内含有{an}中几乎所有的项.记该区间为a1，b1.再令ε=1122，则存在N2（>N1），在区间[aN-112，aN1+1122] 内含有{an}中几乎所有的项

记该区间为[a2，b2]=[aN1-1122，aN1+1122]∩[a1，b1]，也含有{an}中几乎所有的项，且满足a1，b1[a2，b2]及b2-a2≤112.依次继续令ε=1123，…，112n，得一闭区间{（an，bn）}，其中每个区间都含有{an}中几乎所有的项，且满足：[an，bn][an+1，bn+1]，n=1，2，…；bn-an≤112n-10（n∞），即{（an，bn）}是闭区间套.由闭区间套定理，存在唯一一点ξ∈[an，bn]，（n=1，2，…）.

三、应用闭区间套定理时注意的问题

一般来说，证明某定理时需要找到具有某种性质的p的一个数，常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来.怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质p*的闭区间，性质p*要根据性质p来定；其次通常采用二等分法将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质p*，然后继续使用二等分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质p*的闭区间列.虽然二等分法在证明与闭区间套定理有关的题时很常用，但对于闭区间的构造方法有多种，并不一定要用二等分法，所以我们在构造闭区间列时要视具体情况而定，不能一味地运用二等分法.

【参考文献】

＼[1＼]华东师范大学数学系.数学分析（上）＼[M＼].北京：高等教育出版社，1991：161-171.

＼[2＼]周明.用闭区间套定理证明闭区间上连续函数的性质＼[J＼].西安工程学院学报，1998（20）.