让学生自己制造钥匙去开锁

研究性学习走进教学课堂是必然趋势，研究性学习试题体现的“不是让学生拿着钥匙去开锁，要让学生自己制造钥匙去开锁。”下面举几例加以分析。

一、根据已给的定义研究问题

例1：如图（1），将射线OX按逆时针方向旋转α角，得到射线OY，如果点P为OY上一点，且OP=a，那么我们规定用（a，α）表示点P在平面内的位置，并记为P（a，α）。例如图（2）中，如果OM=6，∠XOM=80°，那么点M在平面内的位置记为M（6，80°），请根据以上说明解答下列问题：

（1）在图（3）中，如果点N的位置记为N（8√3，15°），那么ON= ，∠XON= ；若点S与点N关于点O对称，则点S的位置记为S（ ， ）；

（2）如果点T的位置记为T（8，345°），求N、T两点间的距离。

图（1） 图（2） 图（3）

分析：由给出的平面内点的位置的表示方法，可得ON=8√3，∠XON=15°，S（8√3，195°），∠NOT=30°，过T作ON的垂线，通过解直角三角形，得TN=8。

例2：如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。设等腰三角形的底和腰分别为a、b，底角和顶角分别为α、β。要求“正度”的值是非负数。

同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|α-β|来表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。

探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？

（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；

（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。

分析：（1）根据“正度”定义及相似三角形的“正度”相等，同学乙的方案较为合理；

（2）同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等，方案可改为 ， 等来表示“正度”；

（3）还可用|α-60°|、|β-60°|、|α+β-120°|等来表示“正度”。

二、根据已有的规律，深入研究问题

例3：在一条直线上有依次排列的n（n>1）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单情形；

如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。

如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离。而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的。因此P放在A2处是最佳选择。

不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。

问题（1）：有n台机床时，P应设在何处？

（图①） （图②）

问题（2）：根据问题（1）的结论：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值。

分析：（1）根据已给的规律，可得，求n为偶数时，P在 台与

+1台之间任何地方，当n为奇数时，P在 处。

（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值问题可转化为以上问题。当x=309时，最小值为：

|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-616|+|309-617|=308+307+…+1+1+2+…+308=308×309=

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三、根据已给的研究方法，继续研究问题

例4：小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20cm的直尺，根本不够长？怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：如图（1），首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长（如图2），即可求出锅的直径。

（1）请你利用图（2）说明她这样做的理由；

（2）在现有条件下，你还能设计出另外一个可求出锅的直径的方法吗，如果能，请在图（3）中画出示意图，并说明理由（不必求出锅的直径）。

分析：（1）假设圆（锅沿所形成的圆）的圆心为O，连结OA、OB，易得四边形OAMB是正方形，OA=MA，量得MA的长，再乘以2就是锅盖的直径。

（2）如图，MCD是圆的割线，用直尺量得MC、CD的长，可求得MA的长。

如何创造性地使用阅读材料，以培养学生独立探究学习的能力，成为研究性试题所考查的主要内容，教师应努力引导建立新的学习方式，把数学学习过程变成一种再创造的过程，通过问题的研究与分析，让学生能力得以升华。