小小网格线 数学大问题

在近几年的数学中考试卷中，作为考查学生数形结合思想方法的运用能力和动手操作能力的载体，许多省市采用了一些网格型试题，这些试题答案往往不惟一，且有较强的开放性，有利于培养学生的探究意识和创新精神.网格问题是指以正方形网格为背景的一类试题.此类问题由于不需要繁杂的计算和繁难的证明，试题背景公平，题型灵活，操作性强，趣味性浓，体现新课程理念，是近几年中考的热点问题.利用网格自身的特点进行图案的设计和图形变换作图，利用勾股定理计算线段的长度或图形的面积，探究图形的变化规律等.最近以网格为载体的有关相似形、圆或平面直角坐标系的综合题频频出现.例如：1. 利用网格作图形变换，直观且易行．画变换后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据图形变换的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方法是图形变换作图中最常用的方法．2. 以网格为载体综合考查数学知识的应用. 3. 在网格中计数.中考中常出现利用网格计数的问题，考查分类讨论的数学思想.在分类讨论时，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到不重复、不遗漏. 4. 利用网格的特殊性计算.利用格点作图和计算，涉及勾股定理、三角函数、平行线等知识，方法新颖，思路巧.解此类题要注意运用网格中隐含的平行、垂直、相等的角和相等的线段. 5. 利用网格设计图案 新课程标准要求“欣赏现实生活中的轴对称和中心对称图形，结合现实生活中典型的实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称和中心对称进行图案设计”.6. 利用网格进行证明和探究等等. 下面以介绍几例数学中的网格问题.

一 、 利用网格进行图形变换作图

1. （2012江苏泰州市26，本题满分10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到A■B■C■，然后将A■B■C■绕点A■顺时针旋转90°得到A■B■C■

（1） 在网格中画出A■B■C■和A■B■C■；

（2） 计算线段AC在变换到A■C■的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）

【解析】 （1） 作已知图形的平移图形，需找准平移方向和距离，再作出图形；将已知图形的旋转，需看清旋转中心、旋转角和旋转方向；（2） 观察可知，线段AC变换到A■C■过程中所扫过部分为两个平行四边形和圆心角为45°扇形，分三步求其面积较易．

【答案】 （1） 画图略；

（2） 扫过区域的面积=4×2+3×2+π=14+π

【点评】 平移、旋转作图经常在网格中来实现，作图方便，又能体现学生活学活用相关知识的能力，是近几年来新兴的试题．本题主要考查几何变换中的平移与旋转相关知识，只要理解与掌握平移及旋转的定义及性质，作出几何变换后的图形就非常容易了．实际上，图形的变换就是转化为关键点的变换，抓住平移的两要素（平移的方向与距离）与旋转的三要素（旋转中心、旋转方向和旋转角），是解决本题的关键．

二、 网格线与圆

1. （2011·泰州16，3分）如图，ABC的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC绕点B顺时针旋转到A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形面积是 平方单位（结果保留π）．

【考点】 旋转的性质；扇形面积的计算.

【分析】 在RtABC中，由勾股定理求AB，观察图形可知，线段AB扫过的图形为扇形，旋转角为90°，根据扇形面积公式求解．

【解答】 解：在RtABC中，由勾股定理，得AB=■=■=■，

由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，线段AB扫过的图形面积=■=■．故答案为：■．

【点评】 本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用．关键是理解题意，明确线段AB扫过的图形是90°的扇形．考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长＝■

三、 网格线与三角形

1. （2011吉林长春，20，6分）在正方形网格图①．图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点从格点B、C、D、E、F、G、H中选取，并且所画的两个三角形不全等．

【分析】 可以以正方形的对边的顶点为等腰三角形的两个底边的顶点，以这两点连线的中垂线经过的点为顶角顶点，即可作出等腰三角形．

【点评】 本题主要考查了作图，正确理解等腰三角形的性质：顶角顶点在底边的中垂线上，是解决本题的关键

四、 网格线与函数

1. （2010广东佛山，21，8分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，-1）、B（0，2）、C（1，3）；（1） 求二次函数的解析式；（2） 画出二次函数的图象．

【考点】 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象

【分析】 （1） 将A（-1，-1）、B（0，2）、C（1，3）代入函数解析式，利用待定系数法求该函数的解析式即可；

（2） 根据二次函数的解析式作图．

【解答】 （1）根据题意，得a-b+c=-1c=2a+b+c=3，

解得，a=-1B=2c=2，所求的解析式是y=-x2+2x+2；

（2） 二次函数的图象如图所示：

【点评】 本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象．解题时，借用了二次函数图象上点的坐标特征这一知识点．

五、 网格线与坐标系

1. （2011黑龙江大庆，16，3分）如图，已知点A（1，1），B（3，2），且P为x轴上一动点，则ABP周长的最小值为■+■．

【考点】 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.

【分析】 本题需先根据已知条件求出AB的长，再根据P为x轴上一动点，确定出P点的位置，即可求出BP+AP的长，最后即可求出ABP周长的最小值

【解答】 解：

做点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，当点P运动到AB′与x轴的交点时ABP周长的最小值．

A（1，1），B（3，2），

AB=■=■，

又P为x轴上一动点，

当求ABP周长的最小值时，

AB′=■=■，

ABP周长的最小值为：AB+AB′=■+■.故答案为：■+■.

【点评】 本题主要考查了轴对称—最短路线问题，在解题要结合图形再与各个知识点相结合，找出点P所在的位置是本题的关键．

六、 网格线综合题

1. （2011四川凉山，21，8分）在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4），C（-2，9）.（1）画出ABC，并求出AC所在直线的 （2）画出ABC绕点A顺时针旋转后90°得到的A1B1C1，并求出ABC在上述旋转过程中扫过的面积.

【分析】 （1） 利用待定系数法将A（－1，2），C（－2，9）代入解析式求出一次函数解析式即可；（2） 根据AC的长度，求出S＝S■＋S■，就即可得出答案．

【解答】 （1）如图所示，ABC即为所求.设AC所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）

A（-1，2），C（-2，9），

-k+b=2-2k+b=9解得k=-7b=-5？摇， y=-7x-5.

（2） 如图所示A1B1C1，即为所求.

由图可知，AC=5■，S=S扇形+SABC=■+6=■+6.

【点评】 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及扇形面积求法，得出扇形面积于S＝S■＋S■是解决问题的关键．

总之，网格问题遍及数学的各个角落，一些数学的知识借以网格呈现出来，解答时要借助于网格的直观性和网格图形的可操作性，综合运用所学的知识进行解答，应引起我们的重视.