略谈数学教学中课本题的改变

正值创新教学的不断深入，教材中的例、习题正受命题者的青睐。为更显“主体”和“主导”地位，宜突出一个变字，创造一个“新”字。现就转换因果关系、转换条件设问、转换图形结构来改变，以提高复习的高效性。

课本题；改变；高效性

课本是学生获得知识的仓库，也是命题者情有独钟的原创。以课本中的例题和习题为基础进行巧变而命中考的数学题，是一种源于教材，高于教材崭新的亮点。例如2009年重庆市的一题中考题，就是我们浙江省的九年级上册P115页的第6题而改变，无独有偶，而温州市的中考题也是对此题的拓展与延伸。既然是一种倾向，一种方向，且合情合理。我们何不快马加鞭，在新课或复习中，对课本的例题和习题进行拓展，延伸以巧变。

基于多年对中考命题的探究，中考命题是在考查基础知识和基本技能的同时，不仅注重学生的数学思想，探究能力，创新思维，可巧的是许多题目是对例题、习题的优化改造。为了便于表达，笔者以实例改变因果关系，改变条件设问，改变图形结构，且以一变一赏析以共同探讨。如何？

具体以浙教版八年级下课本目标与评定的第7题为例来谈谈如何进行课本题的巧变。

试题来源：

（浙教版八年级（下）课本目标与评定的第7题）如图1，在ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，∠DEA=68

(1)求证：AD=AE；

(2)求平行四边形ABCD各内角的度数。

[赏析]原题的主要设计意图是能运用平行四边形的基本性质，由“角平分线+平行线+等腰三角形”这一基本模式解决问题，是一道基本的几何题，目的是为了考查学生基本的计算和几何推理能力。

改变方向：

转换因果关系，由浅入深实现改变，培养学生的逆向思维能力，提高学生的迁移应用的能力，从而实现复习的高效率。

保留原题中的“在平行四边形ABCD中”这个大框架不变，互换原题中的条件和结论。

[改变一]变式1：已知：如图2，在ABCD中，AD=AE，∠DEA=68

(1)求证：DE平分∠ADC；

(2)求平行四边形ABCD各内角的度数。（图2）

变式2：已知：如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC的平分线交AB于点E，AD=AE，∠DEA=68

(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；

(2)求四边形ABCD各内角的度数。

[赏析]变式1是把角平分线和等腰三角形的知识互换，变式2是平行线和等腰三角形的知识互换。这样的变化让学生对命题和逆命题有进一步的理解，同时在研究问题的过程中，引导学生有意去做与常规思维相反的探索，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品质，提高学习效果和学习兴趣。

转换已知条件，设问角度来实现改变，促成对知识的全面理解与掌握，培养学生思维的多向性，实现复习的高效果。

[改变二]：保留原题中的“在平行四边形ABCD中”这个大框架不变，增加适当的条件。

1.赋予相应线段的长度，让学生进行相应问题的计算。

变式3：如图3，在ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，且AE=5，BE=3。求ABCD的周长。

变式4：如图4，在ABCD中，∠ADC的平分线交AB

点E，交CB的延长线于F。

（1）请找出图中所有等腰三角形，并选择一个进行证明；

（2）连结EC，若AD=3，DC=4，求∶的值。

[赏析]变式3和变式4虽然增加了相应的数据，但解决问题的切入口还是原题中的证明结论AD=AE。通过这样的分析学生很快明白，要进行相应的计算，它们与原题的处理方式是一样的，这样即节省了时间，又提高了学生的解题能力。

2.增加平行四边形另一个内角的角平分线，让学生进行几何推理和探究。

变式5：已知：如图5，在ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，∠ABC的平分线交CD于点F。

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若=，求AD：AB的值。

变式6：已知：如图6，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于G，∠ABC的平分线交CD于点F。求证：四边形DGBF是等腰梯形。

变式7：已知：如图7，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，∠DAB的平分线交CD于点F。

(1)求证：DEAF；

（2）连结EF，请说明四边形AEFD是菱形。

变式8：已知：如图8，在平行四边形ABCD中，AB>AD，∠ADC的平分线交AB于点E，∠DCB的平分线交AB于点F。

(1)求证：AF=BE；

(2)若AD=3，AB=4，求EF的长；

(3)探究：当点E、F重合时，平行四边形的相邻两边AD于AB有怎样的数量关系。

变式9：已知：如图9，在平行四边形ABCD中，AB>AD，DG、CG、AP、BP分别为∠ADC、∠BCD、∠DAB、∠ABC的平分线，且DG与A交于点M，CG交BP于点N。

①判断四边形MGNP的形状；

②若平行四边形ABCD的面积=S，求四边形MGNP的面积。

[赏析]以上几个变式中的两条角平分线是一组对角或一组邻

下转第035页

上接第086页

角的平分线，学生能很容易利用平行线和角平分线的知识，得出这两条角平分线的位置关系，这样不管平行四边形ABCD的边长发生怎样的变化，都能利用这个不变关系探究和解决问题。通过这样的变化，学生对平行四边形，角平分线和等腰三角形的相关知识能融会贯通，形成完整的知识框架和不错的几何推理能力。

通过结合直角坐标系来转换图形结构来实现改变，训练启迪学生思维的发散性及综合运用知识的能力，实现复习的高效应。

[改变三]：变式10：如图，在平面直角坐标系中，OABC的一顶点O在坐标原点，边OA在X轴上，BC//OA，且A点坐标为（8，0），C点坐标为（3，4），∠OCB的角平分线交X轴于E点。

（1）求CE所在直线的解析式；

（2）P是直线CE上一动点，若|PA-PO|=m，

①问是否存在一点P，使得m=0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

②请思考m有最大值吗？若有，请求出m的最大值，并请写出此时P点的坐标；若没有，请说明理由。

（3）若OF为∠AOC的角平分线，交BC于点F，交CE于点M。P点以1个单位每秒的速度从C点出发沿着线段CE向E点运动，Q点以2个单位每秒的速度从O点出发沿着线段OF向F点运动。记运动时间为t，PQ长为y，则请求出y关于t的函数解析式（当其中一个点到达终点就停止运动）。

[赏析]能与直角坐标系的结合来实现图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法，让学生了解并初步掌握它不仅是必要的而且是可能的，通过对课本习题的改变，学生对数学压轴题的编制和解答有了初步的了解，减少了对中考压轴题的恐惧心理，以后遇到这类问题时就会有一定的方法和思想。

教学中通过对例、习题的一题多问，一题多变，层层推进，以达“变则灵，灵则通。”学生的考分上去了，实效和素质就显现了，且使学生题题顿生新鲜感。可谓“题不在难，有法则灵，量不在多，巧变则行。”只要我们不懈努力，探究巧变，就能变、变、变，变出水平变出鲜。

[1]黄道清.变式教学在初中数学课堂中的应用.数学教学与研究.2010.03

[2]葛铁雷.问题变式有效运用于初中数学复习课.数学学习与研究.2010.06

[3]李林才.初中数学复习课中问题变式有效应用探讨.中国科教创新导刊.2009.30