揭开函数最值迷雾 巧看值域常规求法

摘要：本文论述了值域的求法：函数单调性法、换元法，分离常数法，配方法、重要不等式。近几年的高考数学中虽不直接对函数值域进行单独考查，但在一些恒成立、求参数范围等的题目中频繁涉及。本人以为回归课本，掌握基础，是解决此类问题的最佳途径，故根据本人在教学中的经验，总结了将函数求值域题型技巧。

关键词：函数；值域；求值域方法

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0263-01

近几年的高考数学中虽不直接对函数值域进行单独考查，但在一些恒成立、求参数范围等的题目中频繁涉及。本人以为回归课本，掌握基础，是解决此类问题的最佳途径，故根据本人在教学中的经验，试将函数求值域题型技巧总结如下。

一、函数单调性法

【例1】函数y=+的值域。

【解析】先求定义域为（-∞，0）∪[4，+∞）两个根号内的函数在（-∞，0]上都为减函数，所以y≥2，在[4，+∞）上都为增函数，所以y≥2所以函数值域为[2，+∞）.

点评：函数求值域高考中首选单调性，一般的我们要从函数形式求导数或直接求单调性而去求解值域。

【变式1】已知g（θ）=5θ-10sinθ，θ∈（0，π），试求当角q的余弦值为何值时，函数取最小值？

【解析】g（θ）=5-10sinθ，当g（θ），

g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；当g（θ）>0，cosθ

g（θ）在θ∈（，0）上为增函数，当θ=时，取到最小值。

二、配方法

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）），y=（-6≤a≤3）的最大值为（）。

A.9 B. C.3D.

【解法1】Qy=3==，又-6≤a≤3，当a=-时，ymax=。

【解法2】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用。当-6≤a≤3时，3-a≥0，a+6≥0，当a=6，3时，=0。所以≤=，当且仅当3-a=a+6，即a=-时去等号。选B。

点评：配方法一般用于二次函数形式的值域求解问题，配方看定义域而去求解值域。

【变式2】如果函数f（x）=（x-1）2+1定义在区间[t，t+1]上，求f（x）的最小值。

f（x）min=（t-1）2+1，t>1

1，0≤t≤1

t2+1t

【解析】函数图象的对称轴为x=1，

（1）当t+1

（2）当t>1时，f（x）min=f（t）=t2-2t+2；

（3）当t≤1≤t+1即0≤t≤1时，f（x）min=f（1）=1。

三、分离常数法

【例3】函数y=的值域为 。

答案：（-1，1]。

【解析1】方法一：y==-1+，函数的定义域为R。

1+x2≥1，0

【解析2】y=⇒y+yx2=1-x2⇒（1+y）x2=1-y⇒x2=≥0，得到y∈（-1，1]。

点评：分离常数法一般用于分子分母一二次等的分式求值域问题，注意定义域，一般利用均制定里或对勾函数、函数单调性解之。

【变式3】求函数y=的值域为。

答案：{y|y≠}。

【解法1】（分离常数法）y=・=-・，由于・≠0，所以y≠。

【解法2】（换元法）设5x+1=t，x=，y=×=×（1-），由于≠0，所以{y|y≠}。

四、换元法

【例4】求函数y=4x-5+2的值域。

答案：[1，+∞）。

【解析】

法1：令t=，则2x=t2+3，y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=

2

t++，t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，随着增大而无穷增大.所以当t=0时，ymin=1，故所求函数的值域是[1，+∞）。

法2：显然函数在[，+∞）上是增函数，所以当x=时，ymin=1，故所求函数的值域是[1，+∞）。

点评：换元法一般将无理式转化为有理式，或能整体代换的函数求值域问题，然后用学过的求值域方法求解。

以上是本人总结的求函数值域的常用方法。总之，值域求法多种多样，但都以常见求法殊途归一，所以掌握这些方法运用规律，并灵活建模构造，则在高考中就能达到快捷求解，事半功倍。