浅析辅助函数的构造原理及其在数学分析中的应用

摘 要： 构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，它在数学分析中的命题推证，一些不等式的证明，以及在求条件极值时都有用到.有时候构造辅助函数也是解决数学分析问题的简便而有效的方法之一.

关键词： 辅助函数 构造原理 数学分析 教学应用

在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学基本原理，经过深入地思考、缜密地观察和广泛地联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考察达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法.

对于辅助函数的构造的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析、化归等思想.基本思路是从一个愿望出发，联想起某种曾遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段接近目标，或者从这些方法和手段出发，联想别的通向目标的方法和手段.这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构――构造辅助函数上为止.使用构造辅助函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点采用相应的构造辅助函数方法，常常可以使做题过程简洁明了.所以要构造出恰当的辅助函数并不容易，很多同学对于如何构造辅助函数的问题是相当头痛，学习积极性不高，那么怎样才能掌握好辅助函数的构造并巧妙地应用它们呢？下面我就对定理的证明和自己做题过程中的一些问题加以探讨。

一、利用解微分方程的方法构造辅助函数

主要适用于中值定理类问题的证明.其基本思路是：将求证存在ξ使F（ξ）=0中的ξ看作自变量，然后通过求解微分方程F（ξ）=0得=H（ξ）=C（其中C是任意常数），因为H′（ξ）=0等价于F（ξ）=0，所以H（x）就是我们所需构造的辅助函数.

例：设f（x）在[0， ]上可微，且f（0）=f（ ）= ，证明存在ξ∈（0， ），使得f′（ξ）+f（ξ）=cosξ.

分析：解微分方程f′（ξ）+f（ξ）=cosξ（这是一阶非齐次线性方程）可得

f（ξ）=e [ e （cosξ+sinξ）+C]

从中解出C=e [f（x）- e （cosξ+sinξ）+C]=H（ξ）

证：令H（x）=e [f（x）- （cosx+sinx）]，由题设可知H（x）在[0， ]上可微，且H（0）=H（ ）= 根据罗尔（Rolle）定理知，存在ξ∈（0， ）使得H′（ξ）=0

整理得e [f′（ξ）+f（ξ）-cosξ]=0

所以f′（ξ）+f（ξ）=cosξ.

二、分析与综合相结合构造辅助函数

对于一些综合性较强或形式较复杂的数学命题，应该用综合法和分析法两种方式进行思考，运用相关知识，充分挖掘已知和未知之间的内在联系，通过不断转化命题构造辅助函数.

方法归纳：此例中把不等式中的所有上限（或下限）改为X，从而引出辅助函数F（x），把问题转化为F（x）≥0，再使用单调性分析证明这个不等式.另外，在定积分的证明题中，经常会使用积分中值定理，可以将积分消去，从而与其他项作大小比较.

总之，辅助函数的构造离不开分析、推理和联想，解题者只有把知识学得系统、深入、融会贯通，才能取得事半功倍之效.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同济大学数学教研室.高等数学上、下册（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

[3]数学分析（第二版）[M].华东师范大学数学系编，156-157.

[4]数学分析（第二版）[M].华东师范大学数学系编，160.