探讨三角函数中复合函数的单调性的求法

摘 要：通过实践复合三角函数单调性求解的方法，探讨教材及教参提供的解法的最优法，通过考试总结出复合函数求解思路的反思。

关键词：复合函数；三角函数；单调性；换元法

复合函数的求解是本节的重、难点。而对于此思考题的求解过程，在教学过程中为了不让学生对复合函数的复合产生混淆（必修1函数的复合让学生很是混淆），我们一般建议学生先应用诱导公式处理负号，再进行求解。如：

解法一：

欲求y关于x的单调递增区间，即求sint的单调递减区间（减区间加上负号则为增区间）。

此法为换元法，先用诱导公式把负号处理掉，再根据函数前面所带的正负号求解函数的单调性。避免了t关于x单调性的混淆。保证t始终随着x的增大而增大。

解法二：

此解法在教学过程中令很多学生很是迷茫，学生对于变量的转化不能很好地进行变换，导致解题出现一定的障碍。故采用解法一进行后续的教学。但是，在最近的一次期中考试中找发现存在着这样的问题。

我校期中考试试题中的一问：求解函数y=sin（π-2x）的单调递增区间。

很多学生解答都是按解法一进行求解，但是对于π的处理上没能正确地应用诱导公式进行处理。他们的解法是：y=-sin（2x-π）（有些同学负号误认为直接提取，但cos（-α）≠cosα，更有一部分同学处理成y=-sin（2x+π））

令t=2x-π，则y=-sint

所以，求y关于x的单调递增区间有：

针对此种现象，我不禁反思：到底是按教材的直接复合好呢？还是死记三角函数的单调性求解先处理负号好呢？

经过这次的考试总结反思。我认为教材的目的是让学生能够用联系的观点学习函数和应用换元思想，而对上述的解法一仅仅限于三角函数复合的求解。

在此，我认为教参提供的解法很有实战经验，是通过大量的教学经验总结出来的，包括我今天的教学再一次验证。复合函数的直接求解刚开始可能会比较难以理解，但是针对整个高中的教学方法的连贯性，以及教学的逻辑性还是比较符合的。三角函数的复合负号的处理仅仅是复合函数的一小部分，在教学过程中还是应该避免让学生死记太多，更多的是要注重知识的灵活应用。

以上是我对三角函数这一教学过程中的复合函数求解的一点思考，烦请其他的同行进行指点和探讨。

（作者单位 福建省泉州外国语中学）