数形结合 指导学生学好函数

数形结合是一种分析和解决数学问题的工具，在数学教学中广泛应用。在函数问题中，“数”指函数的解析式，也是指用代数方法处理问题，而“形”指的是函数的图像，也是指用几何方法处理问题。数形结合揭示了代数与几何的内在联系，让学生掌握数形结合的方法有利于学生理解函数的相关性质。有助于提高学生分析和解决函数问题的能力，把握代数与几何的联系，用代数的方法思考几何问题，同时也用几何的方法解决代数问题，使得抽象问题形象化，复杂问题简单化。教师在教学中如能恰当运用好“数形结合”，可帮助学生领会函数的图象和性质，从而找到解决问题的方法。

1 理解数形联系，打开数形结合的大门

初中阶段函数学习的内容有：一次函数，反比例函数，二次函数。我们研究函数主要研究它的概念，图像，性质，以及应用。从代数的角度看，函数的解析式都可以看着自变量 x和函数 y的二元方程 y=f(x)，在定义域内自变量 x任取一个值，通过函数的对应法则都只有唯一的一个函数值 y与它对应，即 x=?

y=? 表示了这个方程的一组解，因自变量 x取值的连续性，所以一个二元方程在定义域内有无数组连续解 xi=?

yi=? ,我们把这些解转化为点的坐标（ xi,yi），并在直角坐标系中把这些点依次描出来，这些点的集合刚好组成一条曲线，这条曲线就是函数的图像，所以函数的解析式和函数的图像时同一个函数的俩种不同的描述方式，故研究函数可以从解析式研究它，也可以从他的图像去研究它，当我们看到函数的解析式时马上联想它的图像，看到图像时马上联想到解析式，比较哪种方法便于更易于处理问题，那种方法方便就用那一种，确定出处理问题的最优方案。

2 把握数形关系，找到数形结合的途径

在教学中，从函数的解析式出发，了解一次函数 y=kx+b(k≠0)，反比例函数 y=kx(k≠0),二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的概念。在函数的图像教学中要让学生体会：先把函数从解析式转化为列表，再转化为坐标系中连续的点的过程，让学生充分体会函数图像的由来，真正认识到，解析式，列表和图像是从不同侧面表现函数的同一性质。最后，再教会他们该函数图像的简单画法，切不可在图像教学中，直接将简便画法教给他们。并要求学生记住初中教材中出现的常见函数的解析式以及它们对应的图像。

3 分辨数形特征，明晰数形结合的类型

在一次函数中 y=kx+b(k≠0)中 k，表示直线的斜率； k为正时y随x的增大而增大，即增函数。 k为负时y随x的增大而减小，即减函数。在利用函数图象研究函数的增减性时，我教学生这样理解函数的增减性：站在图像上，面向x轴的正方向，沿着图形像向前走，上坡的部分是增函数，下坡的部分是减函数。b的几何意义是直线在y轴上的截距，即直线穿过y轴点的纵坐标。在一次函数 y=kx+b(k≠0)中，当b=0时，一次函数便成了y=kx,所以他们的图像都是一条直线。特别地，y=b不是一次函数，它的图象是一条平行于x轴的直线，且过点(0,b)；x=a它的图象是一条平行于y轴且过点(a,0)的直线。为进一步的学习打下基础。

反比例函数 y=kx(k≠0)的图像是双曲线，k>0即xy>0，图象上的点(x,y)，x,y同号，故俩只曲线分布在第1，3象限，两支曲线都是减函数。k

二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线，其中a>0抛物线的开口向上，a

的顶点坐标，有时还表示为：,其中x1、x2分别表示抛物线与x轴两个交点的横坐标。

4 揭示数形规律，树立数形结合的思想

4.1 利用函数的图像解决方程组的解和不等式问题。学生在此之前已经学习了用代数方法解二元一次方程组和不等式。课本第54页例题“例：利用图像解方程组：y=2x－5

y=－x+1 .首先让学生体会每一个二元一次方程组都可以表示成y与的一次函数关系式，把代数问题转化为用函数的图像来研究，指导学生在同一个直角坐标系中画出两个函数的图像，确定出交点的坐标（2，-1）。引导学生体会图像中两条直线交点的意义：交点（2，-1）是两条直线的公共点，则交点（2，-1）既在的图像上也在y2=－x+1的图像上，那么交点的横纵坐标的值必然能够使两个方程成立，即（2，-1）这组有序数对，就是方程组的解，当学生明白方程组的解与函数图像的交点坐标的关系后，进一步说明;方程组的解可以同过两个函数图象的交点坐标来解决，那么两个函数图像的交点坐标也可以用解方程组的解来解决x=2

y=－1 就是交点的横纵坐标。继续引导学生观察函数y1和y2的图象，在交点(2,-1)左侧，函数y2的图象在y1上方，体会在交点左侧x取任意值时，y2的函数值都比y1大，说明xy1(或者y12时,观察哪个函数的图象在上方？体会y1>y2,继续让学生在图象上找出y1>y2时x的取值范围。接着思考怎样用图形解不等式2x－5>－x+1,指导学生把2x－5看着y1，把－x+1看着是y2则2x－5>－x+1可看着y1>y2,学生可通过函数的图象顺利找x的取值范围是：x>2.这样学生便可以通过观察图象解决不等式问题。从而实现了用几何方法解决了代数问题，也用代数方法解决几何问题，领会数形结合的好处。

4.2 借助函数图像解决函数的增减性问题。在配套练习册47页11题：反比例函数y=6x图像有三个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),其中x1

A y1

C y3

这是一道学生易错的题目。先引导学生画出y=6x的图像，观察函数的图像由第1,3象限的两支曲线组成，每支曲线都随x的增大而减小，但两支曲线在y轴出断开(x≠0)，y1,y2,y3的大小不能由增减性直接比较。要先判断的函数值y1,y2,y3在那支曲线上，依题意x1

4.3 运用函数的方法，解决实际问题是现在中考的热点，下面是一道中考题：某商品的进价为40元，售价为每件50元，每月可卖出210件；如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于56元），设每件商品上涨x元（x为正整数）每月销售的利润为y元。（1）求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围？（2）每件商品定价为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的定价为多少元时每月的利润恰好为2200元？根据以上结论直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 学生用代数的方法易得出：y=(210－10x)(10+x),化简得y=－10x2+110x+2100。关于x的取值范围学生通过读题可轻易得出0＜x≤16。（2）引导学生画出y=－10x2+110x+2100的图像，引导学生观察抛物线，思考：x=?时y最大呢？a=－10,图像抛物线的开口向下在顶点处可取得最大值，接下来只需检查顶点是否在0＜x≤16之间，因为对称轴x=－b2a=5.5,顶点在0＜x≤16内，但5.5不是整数，x只能取整数值，所以不能用顶点的纵坐标来表示最大值，怎么办呢？进一步指导学生观察图像接近5.5的整数有5和6由图像可知x=5和x=6是函数值仅小于x=5.5是的最大函数值，那么那个更大呢？当x=5时，卖出的商品是x+50=55件，利润是y=2400,当x=6是市场卖出x+50=56件，利润y=2400,经比较可得出售价定为55或56件时利润最大为2400元，得出了正确答案。（3）利润y=2200时，可以引导学生画出直线y=2200，与y=－10x2+110x+2100的图像相交与两个点，可以用解方程的办法找出交点的横坐标为x=1和x=10,即每件商品定价为51或60时每月的利润恰好为2200元，在引导学生同过观察图像，可直接得到1≤x≤10时函数值即利润大于2200元。即把商品售价定为不低于51元不高于60元时市场的利润不低于2200元。从而解决了问题。

数形结合是代数思想和几何方法的有机结合，能使抽象问题形象化，复杂问题简单化，促进学生数学思想的形成。当然并不是所有的函数问题，都必须用数形结合的方法来学习，在教学实践中要灵活运用，能用一种方法解决问题时，就不必采用数形结合的方法，避免把问题复杂化。