论数列通项问题的解决方法

数列问题一直是高考压轴题选之一，也是数学竞赛重要考点。数列问题往往灵活多变，且易于结合多个诸如不等式和函数等重难知识点，因而其考题往往体现出灵活性强、综合性大等特点，而其中数列通项的求解问题又是其核心。数列的通项公式是我们分析数列性质的重要依据，特别是一些综合性较强的数列问题，数列通项公式的求解问题往往是其求解的重难点。

尽管此类问题千变万化，但笔者认为，其所涉及的数学思想与方法仍具有概括归纳性。下面是一道学生在平时数学竞赛训练中遇到的难题，请读者试解：

相信不少读者都会在求解过程中思维受阻。事实上，在形成一套系统的数列通项解题思想与方法后，解决上面的问题是比较容易的。而笔者经过多年的探讨与总结，已初步形成了一套较为完整的解决此类问题的思想与方法。在此与诸读者共飨。

一、相关数学思想

数学思想是解决所有数学问题的活的灵魂，是一种高度抽象化的数学思维的精华。而在数列通项的求解问题中，主要涉及转化与化归思想、分类讨论思想及函数与方程思想等。

其中，转化与化归思想在该类问题的求解中有着广泛而深刻的运用，很多问题都是在对所给已知条件（一般是等式）进行适当的代数变形后转化、化归为等差、等比数列的相关问题，进而得解。转化与化归思想的意义就在于：化未知为已知、化抽象为具体、化难为易，进而达到“柳暗花明又一村”的豁然境界，使问题迎刃而解。

分类讨论思想主要应用于涉及绝对值、（-1）n及分段数列的表达上。由于问题的复杂性与多样性，求解过程也呈现出严谨性与全面性，而这也往往是许多学生易忽视遗漏的地方。

而函数与方程的思想，则是以另一个角度来思考问题。由于数列与函数具有一定的相似性，因而，在实际求解过程中，我们会常常自觉不自觉地将数列问题视为函数问题来加以解决；而对其中一类特殊的问题，方程思想所倡导的待定系数法则是求解的关键。

二、相关数学方法

1。观察法

此类问题较为简单，关键是找出各项与项数n的关系。

2。公式法

当已知数列为等差或等比数列时，可依据其通项公式确定首项及公差或公比。

3。累加法

4。累乘法

5。 先求Sn法

6。待定系数法

如前所述，这是方程思想的一种应用，关键是据题意列式确定待定系数。

7。取倒法

换元法、取对法、平方法、逐差法等都是解数列问题的常用方法，限于篇幅不再论述。