一题二解 各有千秋

一题多解是许多物理过程的共同特点，而且通过一题多解往往可以加深对物理规律的全面理解，对培养学生的思维创新能力很有帮助，请看下面的引题和例题。

这一结论对于下面的例题有着极为巧妙的运用。

例题 如图3所示质量为M的小车静止于光滑水平面上，小车上面固定一个竖直轻杆，杆上端通过一长为L的细线与小球相连，小球质量为m，现将细线沿水平方向拉直，由静止释放小球，当小球运动到细线与竖直方向成θ角时，试求此时小球与小车的速度大小。

解法一 相对速度法

如图4所示的速度矢量图，小球对地的运动不是圆周运动，小球相对于小车的运动才是圆周运动。设绳子与竖直方向夹角为θ时小车对地的速度为vM，方向水平向右，此时小球相对于小车的相对速度为v相，其方向与绳子垂直，也就是与水平方向成θ角。设小球对地速度为vm，在OAB中，∠OAB=θ，将vm沿竖直方向和水平方向分别分解有：

该解法的巧妙之处在于通过求解相对速度使得问题得以简化，然后根据引题中结论得到其它两个速度与v相的关系，进而使问题迅速得以解决。

通过解法1中的分析，我们知道，当小球下落至细线与竖直方向所成夹角为θ时，小球对地的速度并不与细线垂直，我们若能求出该速度对地的方向，问题即可得以解决。设想已知小球的运动轨迹方程，则由导数知识可求任一时刻各点切线的斜率，即可求出小球到达各点的速度方向。

解法二 导数法 如图5所示。取地面为参考系，以小球静止时悬点所在的空间位置为坐标原点O建立坐标系，设B点为小球运动轨迹上一点，其坐标为（x，y），从释放小球至图示时刻，悬点水平向右移动LM=OC，也就是小车的位移；小球水平方向位移Lm=AD=L-x，由系统水平方向动量守恒得MlM=mLm，解得LM=OC=mM（L-x），进而可以求得CD=L-DA-OC=（M+m）x-mLM，在RtCDB中，由几何知识得CD2+BD2=BC2，其中BD=y，BC=OA=L。

当小球运动到P点时，细线与竖直方向成θ角，此时y1=Lcosθ，代入⑦式可得x1=Msinθ+mM+mL，将点P坐标（x1，y1）代入⑧式可求得轨迹上过P点的切线斜率为K=-M+mMtanθ，设此时小球速度vm的方向与水平方向成α角，不难得tanα=|K|=M+mMtanθ。

解法二巧妙的表示出小球的运动轨迹方程，进而求得小球对地的运动方向，才使得水平方向上的动量守恒方程得以顺利建立。总之，两种解法都应用了系统机械能定律和动量守恒定律，并且从不同的思维视角，将全部的物理过程从不同的侧面展现的淋漓尽致，还采用了精确的数学工具加以描述。两种解法，相得益彰，各有千秋。