由一道高考题多解引发的思考

高考复习过程中，正确引导学生进行一题多解是培养学生发散性思维的有效方法，学生学会了发散性思维，在解题中就能全面考虑问题，沿着已知条件、从不同角度去思考，开发学生智力，活跃学生思维、提高学生能力，培养学生解题方法和技巧，达到高效复习的目标。

本文（2010全国卷1理数、文数）（16）题为例，分析一题多解在数学解题中的运用，旨在说明教师在平时的数学教学中应培养学生一题多解的习惯。

已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，BF=2FD，则C的离心率为____。

命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识、向量共线的坐标运算，考查了数形结合思想、方程思想。本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问 题的捷径。

点评 本解运用了向量的数量积与运算律，简明、快捷、易懂。有关圆锥曲线中的离心率问题，如果没有给出c和a，则要结合章节知识得到c和a的齐次方程，从而得出离心率。

解析4 由BF=2FD，可知|BF|=|2FD|，|BF|=a+exB=a，|FD|=a+exD，代入上式得，xD=a2e，xF=23xD， 所以23×a2e=c，所以e2=13，即e=33。

点评 向量是沟通代数与几何的桥梁，利用向量可以使几何关系与数量关系相互转化，思路清晰，过程简捷。

解析5 设∠BFO=θ，则cosθ=ca=e，由BF=2FD，可知|BF||DF|=1+ecosθ1-ecosθ=1+e21-e2=2，解得e2=13，即e=33。

点评 运用本解法要求对圆锥曲线的统一方程较熟悉，使解法更迅捷。

练习

1。斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。

2。椭圆x225+y216=1的焦点是F1、F2，椭圆上一点P满足PF1PF2，下面结论正确的是

A。P点有两个 B。P点有四个

C。P点不一定存在 D。P点一定不存在

目前，一题多解和多题一解已广泛应用于数学教学中，尤其是在高三数学复习中，更应强调一题多解和多题一解，以便解决高强度低效率的复习弊病。任何解题方法都有其赖以产生的数学基础，而这个基础就是数学教科书的知识、结论、思想方法以及它们之间的内在联系。一道题目可以用许多方法来解答，平时做题不应只着眼于做出这道题，而要尝试用多种解法来解答。尝试从多个角度去解题，可以拓宽思路，在遇到其他类型的题目时更会有意外收获。

在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法，研究题中包含的知识点与重要的思想方法，通过一题多解培养学生的多方向探索思考问题的能力。