浅析中学数学例题解题方法与学生创新能力的培养

前言：课本中不少例题都很经典，而解题难度不大，往往大多数教师不重视例题教学，更不重视例题的解题方法，这就导致复习中一些教师盲目找题，既不考虑学生的知识水平，又不考虑其知识结构，忽略了知识点与知识面之间的纵横联系，以致不能提高复习效果，如果教师重视例题的挖掘，并且诱导学生分析这些题内在涵义，探索出一般规律和新的结论，既培养了学生的创新能力、发展了潜力，又激发了学生的教学学习兴趣。

一、挖掘其多解性，激发创新兴趣

教材上许多例题都有多种解法，一些较难的例题自不待言，但对于最基本的例题，如果能掌握其多解性，一定能激发学生学习数学的兴趣，有利于培养学生的创新及发散思维。现看一例的解法：

例1．求证：

这是高一下册同角三角函数的基本关系式部分，除教材上的方法外，又挖出多种方法：

证法一、从一边开始，证它等于另一边

这一例题不难，从这些方法中能学到一些证明题的方法。同时也能从简例中悟出数学的奥妙。激发创新兴趣。

二、挖掘其拓展性，培养创新精神

有一些例题，看起来很平常，但深挖掘起来它往往具备其他性质，将这些性质引中，从而达到培养学生创瓤能力的效果。

例2．已知三角形顶点是（x1c，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） ，C(x3，y3)求ABc重心G的坐标(x，y)。

这是高中一年级下册“线段的定比分点”一节的例2．它的解法很简单，最后得坐标为

三、挖掘其多变性，培养创新能力

例3：平面内存n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数

这是高中数学第三册选修Ⅱ数学归纳法证明的例5，证法不在赘述。如果把二维变成三维，即把平面改成空间，n条直线改为n个平面，我们就挖掘出一个新问题：问题1：空间中n个平面，其中任何两个平面不平行，任何三个不过同一直线，那么它们交线的个数是多少?

很显然，这个问题与例子实质上完全一样的结果，同样是丢n(n-1) 二(证明略)。如果例子中的已知条件不变，我们来讨论n条直线吧平面分成多少部分，则又有新问题。问题2：平面内有n条真线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，那么这n条直接把平面分成多少部分呢?解决这个问题有一定的难度，设f(n)表示n条直线把平面分成的部分数，显然f(1)=2，用不完全归纳法进行猜想，我们有递推式：f(n)=f(n-1)+n由此可得：

这个结论对任何自然数n都成立，用数学归纳法易证(略)，更进一步地我们把问题2中的平面改为空间，把直线换成平面，则又有一个新问题：问题3：空间内有n个平面，其中任何两个不平行，任何三个不过同一条直线，那么这n个平面分成多少部分呢?是否与问题2的结论一样呢?这个问题就更困难了，但仍用不完全归纳法进行猜想：用g(n)表示满足题设条件的n个平面把空问所分成的部分数，显然g(1)=2，加上一个平面，这个平面与前一个平面有一条交线，这条交线把这个平面分成两部分，每一部分都把原有的空问分成两部分，这样被划分的空间部分增加数恰好等于这个平面把分成的区域个数，即g(2)=g(1)+f(1)=2+2=4，再加上一个平面，这个平面与前两个平面有两条交线，且这两条交线不平行，这样由问题2的结论可知，这平面被分成f(2)部分，每个部分又把它所在的原有空间分成两部分，增加部分数恰好等于平丽被分成的区域个数，即：g(3)：g(2)+f(2)：4+4=8

以此类推则有：

g(n)=g(n一1)+f(n一1)=g(1)+f(1)+f(2)+……f(n-1)=

这个结论与问题2的结论不同，用数学归纳法证明是正确的。(证明略)在问题2中，如果把n条直线换成n个圆，那么，情况又如何呢?问题4：平面内有n个圆，其中任何两个都相交于两点，任何三个都不相交于同一点，那么这n个圆把平面分成多少部分呢?答案为：f(n)=nZ-n+2 (可用数学归纳法证明)在问题4中把平面换成球面，把凼换成球面上的大圆．那么有问题：问题5：球面上任给n个大圆，其中任意三个大圆不相交于同一点，那么这n个大圆把球面分为多少部分呢?

答案亦为：f(n)=nZ--n+2

问题4、问题5留给读者研究证明。

纵观上面例题的挖掘，深感挖掘例题创新例题是有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的创新能。

[参考文献]

[1]高一数学教材[M].人民教育出版社，2006.

[2]高三数学(选修II)[M].人民教育出版社，2008.