浅析数形结合在高中数学中的应用

摘要：数与形是高中数学中两个最基本的概念，数形结合的思想既是教学的重点，又是教学中一种重要思想方法.在数学解题中认真培养学生数形结合的思想方法，注意数与形之间相辅相成的关系，能有效的提高学生的解题能力，.达到事半功倍的教学效果。

关键词：数形结合思想数学教学应用

下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。

一、数形结合思想在集合问题中的应用。

在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例1：已知集合A=，B=，求A∩B。

分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚的知道结果。如图1，由图我们不难得出A∩B=。

图1

二、数形结合思想在函数中的应用。

函数是贯穿高中数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。

例2：若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，求f（x）

解：由偶函数的性质，y=f（x）关于y轴对称，由y=f（x）在（-∞，0）上为减函数，且f（-2）=f（2）=0由图2知f（x）

图2

三、利用数形结合求三角函数最值

由于sin2x+cos2=1，所以从图形角度思考，点（cosx，sinx）在单位圆上，这样对一类即含有正弦函数，又含有余弦函数的最值问题可用几何方法求得.

例3：求函数y=2-sinx2-cosx的最大值与最小值。

函数问题可转化为求两点A（2，2）和B（cosx，sinx）间连线斜率的范围。而点（cosx，sinx）的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆。通过点（2，2）的直线方程为y-2=k（x-2），kx-y+2（1-k）=0.原点到此直线的距离应为1.

故|2-2k|1+k2=1，即得k=4±73，ymax=4+73，ymin=4-73.

四、数形结合思想在复数中的应用

复数的几何意义包括两方面内容：一是与复平面上的点一一对应，二是与复平面上从原点出发的向量一一对应，这使得复数可以从解析几何的角度来审视，可借助数与形的互化来解题。

例4：已知z∈C，且z≤12，求|z+1|的取值范围。

分析：利用复数在复平面上所对应的图形及其几何意义解决此类问题。图3

图3

解z≤12在复平面上对应的图形为以原点为圆心，以12为半径的圆周及圆内部，|z+1|表示在复平面上z对应的点与-1对应点间的距离。由图4|z+1|最大值为AC=32|z+1|最小值|z+1|∈。

五、数形结合在解析几何问题中的应用（曲线交点个数）

例5：圆x2+2x+y2+4y-3=0到直线x+y+1=0的距离等于2的点共有（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个如图4本题涉及到圆与直线的位置关系，为求点的个数，就要解方程组，有一定的运算量，但是，题目只求点的个数，而不求点的坐标，所以可以

不解出方程，因此，可以借助于图形求解.

C：（x+1）2+（y+2）2=（22）2，

圆心C（-1，-2）到直线x+y+1=0的距离

d=|-1+（-2）+1|2=2，所以，过圆心C（-1，-2）且与直线x+y+1=0平行的直线与圆的交点符合题目要求。又因为圆的半径是22，设半径CD垂直于已知直线x+y+1=0，则D到直线x+y+1=0的距离也是2，于是点D也符合题目要求.因此，符合题目要求的点共有三个：A，B.D故选（C）.

通过对上述例题的分析解答，我们可以发现利用数形结合的方法能使问题化繁为简、化难为易、化隐为显，轻松快捷地使问题得到解决。因此，要很好地掌握数形结合的思想，我们应注意以下几点：

（1）要善于观察图形，对图形中蕴含的数量关系要有一定的认识；

（2）正确绘制图形，尽量清晰地反映图形中相应的数量关系；

（3）把握“数”与“形”的对应关系，以“形”感知“数”，以“数”认知“形”；

（4）灵活应用数、形的转化，提高思维的灵活性与创造性。

总之，学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，只有这样，运用数形结合才能不断深化提高。

参考文献：

曾劲松.高考数学总复习第三讲：数形结合.深圳中学，2003.

贺信淳，李平.试谈数形结合思想在高考中的应用.数学通报，1997，4.

徐有政.略论数学形象思维.数学通报，1999，9.

陈婉华.在数学教学中提高学生的多种能力.青年探索，2005，（06）

王后雄.教材完全解读.人教版.接力出版社.2011