基于最小二乘法灰色模型的人口数量预测

摘要：为了响应基本国策，因此需要对人口进行预测并研究，为国家的民生发展提供重要的参考依据。采用普通的人口统计学模型难以精准的作出预测，因此要选择一个具有高精准性的人口模型。这个模型必须符合人口发展的基本理论，并且还要求模型数据的真实性，从而为相应预测提供真实的依据。

关键词：人口预测；数学模型；人口统计

一、前言

在普通模型的基础上对其进行优化和新陈代谢，可以分别生成模型一和模型二。利用最小二乘法对模型一和模型二所预测的两组数据结合真实的数据并拟合，从而得到相应的关键参数，并利用该参数建立第三个模型[1]。模型三是基于最小二乘法的GM（1，1）模型。对三个模型所预测的数据进行对比，分析出误差最小的模型，从而该模型最符合实际。

二、灰色预测模型概述

（一）预测的步骤

设x（0）为n个元素的原始数据序列x（0）=[ x（0）（1）， x（0）（2）… x（0）（n）]

1、处理数据

为了使得所建立的模型具有真实可靠性，首先要对数据做出检验并处理。假设所参考的数据如下：

x（0）=[ x（0）（1）， x（0）（2）…x（0）（n）]，对数列的级比进行计算得出如下结论：

λ（k）= x（0）（k-1）x（0）（k），（k=2，3，，n）

2、模型建立

x（1）（K+1）= x（0）（1）bae-ak+ ba

x（0）（K+1）= x（1）（K+1）- x（1）（K）

3、进行预测值检验

采用残差检验的方法，假设残差为E（k），E（k）= x（0）（k）-x（0）（K）x（0）（K），（k=1，2，3，，n），能否达到要求主要是看E（k）是否小于0.2，E（k）小于0.1就认为达到了高级别的要求。

采用级比偏差值检验，对所参考的数据的级别K0（k）进行计算，利用a即发展系数，从而求得相应的级比偏差。

计算Q（k）=1-1-0.5a1+0.5aλ0（k），最后结果小于0.2才算是达到了一般要求，最后结果小于0.1才算是达到高级别的要求[2]。

（二）优化的GM（1，1）模型

原始非负时间序列为X（0）=X（0）1，X（0）2，…，X（0）n， 累加生成序列为X（1）t，如下：

X（1）t=∑im=1X（0）m，t=1，2，…，n（1）

其白化微分方程为：dX（1）dt+aX（1）=u（2）

上述两式当中，a作为辨识参数；u作为待辨识内生变量。设待辨识向量=au， 按最小二乘法求得=（BTB）-1BTy式中

B=-12X（1）（1）+X（1）（2）1-12X（1）（2）+X（1）（3）1………-12X（1）（n-1）+X（1）（n）1

y=X（0）2X（0）3…X（0）n

如下所示，即为GM（1，1）预测的离散时间响应函数：

X（1）t+1=X（0）1-uae-at+ua（3）

累加的预测值为X（1）t+1，通过对预测值还原可得到如下所示函数：

（0）t+1=（1）t+1-（1）t，t=1，2，3…n（4）

所建立的新陈代谢模型就是在原始序列x（0）=[ x（0）（1）， x（0）（2）…x（0）（n）]的基础上，建模之后将预测值x（0）（n+1）求得，并将最新的信息加入序列当中，并且还要去掉旧的信息x（0）（1），从而才能够保证序列长度不变，以此类推得出GM（1， 1）模型群。

三、利用最小二乘法灰色模型对人口统计进行预测

由于灰色建模的数据都会在5维以上，同时序列越短误差越小，预测时间越短误差越小，预测的时间越接近误差也会相应减小。5维和6维的灰色预测模型精度高，误差小，与实际值最为接近。根据实际情况，可将5维模型作为最佳的预测模型。

（一）利用优化的GM（1，1）预测

以1950-1999年的人口数据为依据，对2000-2005年的人口进行预测，利用普通灰色模型得出相应的预测结果：

X1 =[x11 ， x12 ， x13 ， x14 ， x15 ]

式中， x1j 表示采用这种方法第j年预测的数据结果。

（二）利用新陈代谢的GM（1，1）预测

同理，可预测2000-2005年的人口数据，并对GM（1，1）模型进行优化得到相应的预测结果：X2 =[x21 ，x22 ，x23 ，x24 ，x25 ]

其中， x2j 表示采用这种方法第j年预测的数据结果。

（三）最小二乘法的GM（1，1）预测

对于2000-2005年的人口实际数据，通过查阅资料来检验预测的精准性。通过上述的方法可以得出预测结果。假设2000-2005年所预测的人口实际数据为Y=[y1 ，y2 ，y3 ，y4 ，y5 ]。

那么所改进的GM（1，1）模型为y=αx1+βx2+u，通过数据X1 ， X2 ， Y预测出系数α，β。利用模型一和模型二预测出x1 ， x2 。

综上所述，最小二乘法的灰色预测模型三GM（1，1）为y=αx1+βx2+u。

四、预测结果

基于最小二乘法的GM（1，1），对我国人口总数做一个简单的短期预测，详细数据见表1。

五、结论

基于最小二乘法的GM（1，1）在对数据进行预测以及模拟的过程中较普通的GM（1，1）模型更为科学。与普通GM（1，1）模型相比，二者都是寻找一条和x（1）或x（0）高度拟合的曲线，本文所述的方法能保证整个原始序列与模拟序列的拟合度最好，所以具有可推广性。（作者单位：山东科技大学矿业与安全工程学院）

参考文献：

[1]宋健 田雪原 于景元等.人口预测和人口控制[M].北京：人民出版社，1980.

[2]许秀莉 罗键. GM（1，1）模型的改进方法及其应用[J].系统工程与电子技术，2002，24（04）：61-63.