例谈三角函数图象变换的顺序

一、图象变换的四种变换

我们把y=f(x)称为“基底”函数，y=Af(ωx+φ)+m称为“发展”函数，从“基底”函数到“发展”函数，其间经过4种变换：

1.纵向平移——m变换，

2.纵向伸缩——A变换，

3.横向平移——φ变换，

4.横向伸缩—ω变换。

其中1和2为纵向变换，3和4为横向变换；或者1和3为平移变换，2和4为伸缩变换。一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”的值不尽相同，解题的难易程度也不一样。

下面以f(x)=sinx到f(x)=Asin(ωx+φ)+m为例，探讨4种变换的顺序对平移量的影响问题。

二、正向变换

我们把由f(x)=sinx到f(x)=Asin(ωx+φ)+m的变换称作正向变换。即从“基底”函数到“发展”函数之间过程的变换。

例1f(x)=3sin(2x+π4)+1的图象可由f(x)=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？

解法1：第1步：横向平移：将f(x)=sinx向左平移π4个单位，得f(x)=sin(x+π4)；

第2步：横向伸缩：将f(x)=sin(x+π4)的横坐标缩短12倍，得f(x)=sin(2x+π4)；

第3步：纵向伸缩：将f(x)=sin(2x+π4)的纵坐标扩大3倍，得f(x)=3sin(2x+π4)；

第4步：纵向平移：将f(x)=3sin(2x+π4)向上平移1个单位，得f(x)=3sin(2x+π4)+1。

解法2：第1步：横向伸缩：将f(x)=sinx的横坐标缩短12倍，得f(x)=sin2x；

第2步：横向平移：将f(x)=sin2x向左平移π8个单位，得f(x)=sin(2x+π4)；

第3步：纵向平移：将f(x)=sin(2x+π4)向上平移13，得f(x)=sin(2x+π4)+13；

第4步：纵向伸缩：将f(x)=sin(2x+π4)+13的纵坐标扩大3倍，得f(x)=3sin(2x+π4)+1。

上述两种解法，共同的特点是“伸缩量”没有改变。解法1的“变换量”（如左移π4）与参数值（π4）对应，而解法2中的“变换量”（如左移π8）与参数值（π4）不对应。因此，解法1不易出错，而解法2的难度比较大。

思考：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”却变了？

（2）在横向平移和纵向平移中，φ>0时的图象向左平移，mx>0时的图象向上平移，那么，当φ

（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，当ω>1时图象的横坐标缩短为1ω倍，而A>1时，图象的纵坐标扩大为A倍，那么，当ω

为了使得4种变换量与4个参数（A,ω,φ,mx）对应，降低解题难度，在由f(x)=sinx变到f(x)=Asin(ωx+φ)+mx)(ω>0)的途中，采用如下顺序：

（1）横向平移：xx+φ，（2）横向伸缩：x+φωx+φ，（3）纵向伸缩：sin(ωx+φ)Asin(ωx+φ)，（4）纵向平移：Asin(ωx+φ)Asin(ωx+φ)+mx。

由此可见，在不同的变换顺序中，“伸缩量不变”，而“平移量有变”的原因是在“一次”替代：xωx+φ中，平移是对x进行的。所以先平移（xx+φ）对后伸缩（ωx+φ）没有影响；而先收缩（xωx）对后平移（ω(x+φ)=ωx+ωφ）却存在着“平移”相关。这就是（在例1的解法2中）后平移φ0=ωφ=π4时，有φ=φ0ω=π42=π8的原因。

三、逆向变换

由f(x)=Asin(ωx+φ)+mx到f(x)=sinx的变换称为逆向变换，也就是从“发展”函数到“基底”函数之间过程的变换。显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”，即已知函数的变换结果，求“原函数”。我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序。因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移，以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移。

比如，将函数f(x)=2sin(2x－π3)－1的图象上移1个单位得f(x)=2sin(2x－π3)，再将纵坐标缩小一半，得f(x)=sin(2x－π3),再将横坐标扩大2倍得f(x)=sin(x－π3),最后将图象左移π3得函数f(x)=sinx。

（作者单位：河南省汤阴县第一高级中学）