一种适于教学的正交曲线坐标单位矢量偏导数的推导方法

摘 要：本文指出了一种正交曲线坐标单位矢量偏导数的推导方法。该推导方法不使用正交曲线坐标系中的散度、旋度和调和量的表达式，仅使用简单常见的正交曲线坐标系的无穷小位移公式。推导逻辑严谨清晰、推导过程简洁，学生可以通过对推导过程的学习更加深刻的理解正交曲线坐标系的性质，并且便于学生通过推导过程记忆结论。是一种适合于教学使用的好的推导方法。

关键词：正交曲线坐标系；单位矢量；偏导数；待定系数法

一、引言

一般的正交曲线坐标系与笛卡尔坐标系的基本区别在于，前者的各点的单位矢量随空间点的不同而不同，是空间的函数，后者的单位矢量是常数。正交曲线坐标系的单位矢量关于空间坐标的偏导数具有重要意义，例如该偏导数与正交曲线坐标系中的表达式结合可以推导正交曲线坐标系中的散度、旋度和调和量的表达式。由于这是正交曲线坐标系相对于我们熟知的笛卡尔坐标系的最基本区别，理解并掌握单位矢量对于空间坐标的偏导数显然对于更好的理解正交曲线坐标系具有重要意义。

不引入正交曲线坐标系中的散度、旋度和调和量的表达式而直接推导单位矢量的偏导数是一件颇为困难的事。基本的思路是根据笛卡尔坐标与正交曲线坐标系间的坐标关系和单位矢量关系进行代换，文献[1]根据这一思路用了20余步计算才完成了推导。文献[2]在使用正交曲线坐标系无穷小位移公式的基础上得到的推导过程虽然简洁，但却有逻辑漏洞（由原文中的（7）式并不能得出原文所谓“2”的结论）。由于没有一种好的推导方法，教师往往采取干脆不讲的方式让学生直接记忆结论。本文所指出的推导方法不仅逻辑严谨清晰、而且学生通过对推导过程的学习便于记忆结论，是适用于教学的好的推导方法。

二、符号说明

参考文献

[1]谢树艺.矢量分析与场论学习指导[M].人民教育出版社，1982：51～57

[2]王洪吉.推导单位矢量倒数的新方法[J].工程数学，1994（10）

[3]顾均禧.关于哈密顿算符在曲线坐标系中推广及其基本运算[J].南京气象学院学报，1979（1）