增加习题变式 培养创新意识

作为教师应该解放思想，鼓励学生课堂上参与变式设计，学生强大的创造力会让老师大有收获。

在复习选修2-1圆锥曲线时，一节对课本例题的二次探究课着实让我兴奋了许久。下面是笔者对本节课的教学片断与反思。

一、教学片段

教师：今天我们通过二次探究课本的一道例题，进而探究一类圆锥曲线最值问题。

题目：已知点P（x，y）在椭圆2x2+3y2=6上，求点P到直线x+y-10=0的最大距离与最小距离。（课本47页例7）

教师：同学们小组内交流一下这道题的解法，看同学们能探讨出几种解法？

生1：第一种方法是求出椭圆的与直线x+y-10=0平行的两条切线方程，利用两平行线间的距离公式计算。第二种方法是利用点到直线的公式，可得d=■，得到一个二元函数，但不好把二元函数转化为一元函数；不过可求出切点的坐标，代入即可。

生2：利用三角换元，可以解决这个难点。可以用三角换元？这时好多同学露出了疑惑的表情，这时我示意该同学停下，在黑板上出示了一个问题：已知x2+y2=1，求x+y的最大值与最小值。

请同学们回顾：什么是换元法？换元法的实质是什么？这个问题能不能用换元法解决？

此时同学们展开了热烈的讨论，几分钟后同学们就统一了认识，我选了一位同学在草纸本上的解题过程，利用实物投影仪进行了展示：

设x=sinα，y=cosα，其中α∈R，则x+y=sinα+cosα=■sin（α+β），所以x+y的最大值为■，最小值为-■。

针对解题过程中角的取值范围，教师提出问题：其中α∈R，改为α∈-■，■，或α∈[0，π]或α∈[0，2π]行不行？为什么？通过这个问题使学生进一步理解换元法的实质是等量代换。

我刚要进行下一步的教学，突然有一个同学站起来说：“老师我还有一种好方法”，“很好，你上来给大家讲一讲”。这位同学的解题思路如下：

设u=■x，v=■x，则u2+v2=6，直线为■x+■y-10=0，问题转化为圆u2+v2=6上的点到直线■x+■y-10=0的最大距离与最小距离。

“真巧妙！”“哇，真厉害！”大家不约而同赞叹，我也为这位同学有这么好的思维能力感叹的连连点头。

？摇教师：刚才的探究过程对大家一定很有启发，请问那一个小组的同学可以将这道题稍作改变，编出几道类似的最值问题考考其他小组的同学？

现将改编所得题目整理及截取的变式2的课堂片段呈现如下：

变式1：求x+y的最大值与最小值。

变式2：求x2+y2的最大值与最小值。

【变式2教学片段】：

生3：把x2+y2看作二元函数，可以把二元函数问题转化为一元函数问题，即Z=x2+y2=x2+■=■x2+2，因为P（x，y）在椭圆2x2+3y2=6上，所以x∈[-■，■]，因此函数的最大值为3，最小值为2。

生4：解决解析几何问题有两种方法，代数法和几何法。方法一是从代数角度出发，利用函数思想解决问题，本题还可以从几何角度出发，利用x2+y2的几何意义来解决，x2+y2可以看作是点P（x，y）到原点的距离的平方，而最大值和最小值分别在长轴和短轴的顶点处取得。

生5：可用三角换元。这位同学在黑板上展示了她的解题过程。

解：由2x2+3y2=6可得■2+■2=1，设■=cosα，■=sinα，即x=■cosαy=■sinα，其中α∈R，则x2+y2=3cos2α+2sin2α=2+cos2α

所以x2+y2的最大值为3，最小值为2。

二、课后反思

1.问题选取立足于课本，充分挖掘课本例、习题的变式串

利用变式串，引导学生运用运用联想、想象、猜想、推想等尽量地拓展思路，从问题的各个角度、各个方面、各个层次进行顺向、逆向、纵向、横向的灵活而敏捷的思考，从而获得众多的方案或假设。使学生的思维能力随问题的不断变换，不断解决而得到不断提高，有效地增强思维的灵活性、敏捷性和创造性，使创造性思维得到培养和发展。

2.注重教学模式的多样化，提高复习效率

复习就是再现学习过程，将已学知识加以梳理，纳入整体系统之中，复习课要达到进一步完善优化学生的认知结构，提炼数学思想方法，引导学生感悟数学思想，提高学生解决问题的能力。

3.教师要创设和谐的共同探讨的学习环境

新课程要求教学是平等的、民主的，要构筑起共同探讨的学习环境，教师应创设宽松和谐的学习环境。

4.师生互动“说题”，让数学课堂更精彩，更高效

学生在充分思考的基础上，让学生说清题意，说出解题思路，说出解题过程，说出问题的拓展与延伸，说出解题后的反思。学生“说题”，有利于暴露问题，了解问题的症结，发掘学生的各种想法，而且通过多种属锋、撞击，常常能够激活数学思维，点燃智慧火花，催生解题能力，提高学习情趣。

（作者单位：江苏省沭阳如东中学）